[論文レビュー] Elements of Librationism

Frode Bjørdal|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2014

Computability, Logic, AI Algorithms被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、ゲーデルの構成可能宇宙 L 内の階層的で意味的に閉じた枠組みを用いることで、意味論的および集合論的パラドックス（例えば、ラッセルのパラドックス、カリーのパラドックス）を解消する、数学的論理における画期的な基礎的体系 £（リブラ）を導入する。この体系は、真理述語と定義可能実数を、生成点と超限再帰を用いて定義し、自己言及および高次の無限大を古典的かつ非パラドキシカルに扱えるようにする。ZFC の整合性を仮定せずとも成立する。

ABSTRACT

We develop librationism, {\pounds}, and clarify some mathematical and philosophical matters which relate to the particular manner in which it deals with the paradoxes and to its usefulness as a foundation for mathematics and type free reasoning. We isolate a domination operation which unlike the power set operation is not paradoxical and which helps us isolate the definable real numbers. We show that {\pounds} plus a postulate and a postulation interprets ZFC; our strategy for achieving this involves extending an interpretation by Harvey Friedman of ZF in a system weaker than ZF with collection minus extensionality and a novel notion of $librationist \ capture$ which entails collection, specification and choice in desired contexts.

研究の動機と目的

• 意味論的および集合論的パラドックス（例：ラッセルのパラドックス、カリーのパラドックス）を古典的かつ非パラドキシカルな枠組みで解消すること。
• 意味的に閉じておりながらも古典論理を保つ数学および真理理論の基礎を提供すること。
• 自己整合的で一貫した体系内で、定義可能実数および高次の無限大（例：マーロ基数）の理論を構築すること。
• 標準的公理的集合論およびパラconsistent論理の代替として、『規程』と『規則』を基礎的原則として導入することによる画期的な代替手段を提供すること。
• 特に不動点や記述不能基数に近い領域における、定義可能性と整合性の限界を、高次の集合論的階層において探求すること。

提案手法

• £-式の外部符号化を、Σ3-適切な順序数 Lς 内の有限フォン・ノイマン順序数として行う二重符号化手法を用いる。
• 生成点を介して H 上の超限再帰を適用し、定義可能性と一貫性を保証する関数を定義する。
• スコーレム＝フラエンケルの公理を用いて ZFC を £ 内に解釈し、ZFC の整合性を仮定しない相対的整合性枠組みを確立する。
• 正規関数と極限の閉包を捉える三項関係 C(α,β,Ξ) を用いて相対的マーロ基数を定義する。
• マーロ公理を用いてこのような基数の存在を主張し、定義可能な階層を上昇可能にする。
• 公理ではなく内容的原則としての『規程』と『規則』を導入し、形式的体系に依存しない、学説的成立の仕組みを提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 意味的に閉じており、古典論理を保ちながらパラドックスを回避する、一貫した体系を構築可能か？
• RQ2 自己言及的真理理論内で、定義可能実数を一貫して特定・分析することは可能か？
• RQ3 生成点を用いた下からの構成によって、マーロ基数や記述不能基数を含む高次の無限大をどの程度まで構築可能か？
• RQ4 £ がスコーレム＝フラエンケルの公理を用いて ZFC を解釈し、ZFC の整合性を仮定せず定義可能解析の基礎を提供できるか？
• RQ5 『規程』と『規則』は、公理や推論規則とはどのように異なり、基礎的原則として機能するのか？

主な発見

• £ は、整合性を損なわず意味的に閉じた言語の真理述語を提供し、否定接続完全性（negjunction completeness）を達成する。
• 定義可能なエッケロン ˙D は生成点として構成され、定義可能な数学的解析のための一貫した舞台を提供する。
• H 上の超限再帰を用い、TT（真理理論的）条件を介して関数を構成することで、一貫性と定義可能性を保証する。
• スコーレム＝フラエンケルの公理を用いることで、ZFC が £ 内に相対的に解釈可能であり、ZFC の整合性を仮定しない。
• マーロ公理により、KIND でありかつそのすべての要素が（自身を含めて）KIND であるような生成点が構成可能であり、大基数の階層を上昇可能にする。
• 高次の無限大、特に不動点を超える領域において、定義可能で生成点に基づく再帰によって到達可能であることが示されたが、記述不能基数は実用的な限界であるように思われる。