[論文レビュー] Elements of mathematical foundations for a numerical approach for weakly random homogenization problems

Arnaud Anantharaman, Claude Le Bris|arXiv (Cornell University)|May 21, 2010

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 1被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、弱くランダムな均質化問題に対して、摂動パラメータ η に関して2次までの漸近展開を導出することにより、きめ細やかな摂動的枠組みを構築する。関数解析と形式的確率的展開を用いて、1次および2次補正項の収束を確立し、数値実験を通じて計算効率と精度を示している。

ABSTRACT

This work is a follow-up to our previous work "A numerical approach related to defect-type theories for some weakly random problems in homogenization" (preprint available on this archive). It extends and complements, both theoretically and experimentally, the results presented there. Under consideration is the homogenization of a model of a weakly random heterogeneous material. The material consists of a reference periodic material randomly perturbed by another periodic material, so that its homogenized behavior is close to that of the reference material. We consider laws for the random perturbations more general than in our previous work cited above. We prove the validity of an asymptotic expansion in a certain class of settings. We also extend the formal approach introduced in our former work. Our perturbative approach shares common features with a defect-type theory of solid state physics. The computational efficiency of the approach is demonstrated.

研究の動機と目的

• ベルヌーイ分布に限らない一般の確率法則に対して、弱くランダムな不均質材料における摂動的アプローチを拡張すること。
• Lebesgue空間における弱収束を用いて、均質化テンソルの2次までの漸近展開を厳密に正当化すること。
• 摂動場の法則に基づく形式的確率的展開アプローチを形式化し、超格子上の決定論的セル問題の極限として補正項を計算可能にする。
• 直接的な確率的均質化と比較して、摂動的手法の計算効率と頑健性を示すこと。
• 特に1次元設定において、形式的導出と厳密導出の等価性を確立すること。

提案手法

• エルゴード性と定常性の仮定の下、$ L^\nu(\text{D}, L^p(\text{D})) $ における弱収束を用いて、均質化テンソルの1次漸近展開 $ A_{\text{per}}^* + \theta \bar{A}_1^* + o(\theta) $ を導出。$ p > 1 $。
• コロナリー3および4に依拠し、追加の仮定の下で関数解析的技法を用いて2次収束を確立。
• ランダム場 $ b_\theta $ の法則に基づく形式的アプローチを導入。$ \theta $ における分布的展開を仮定することで、$ \bar{A}_1^* $ および $ \bar{A}_2^* $ をスーパーセル上の決定論的セル問題の極限として計算可能にする。
• 明示的構成と弱極限を用いて、$ N \to \bigotimes $ のときの1次補正 $ A_{1}^{*,N} $ の収束を証明。
• 有界性を技術的解析により確立し（詳細は[1]を参照）、$ A_{2}^{*,N} $ を部分列の極限として定義。
• 形式的アプローチを固体物理学における欠际理論と結びつけ、効果的材料特性を変化させるまれだが影響力のある摂動の役割を強調。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の確率法則と適切な収束性を満たす場合に、ベルヌーイ分布に限らない弱くランダムな均質化における摂動的アプローチを、厳密に正当化できるか。
• RQ2 均質化テンソルの漸近展開における1次および2次補正項 $ \bar{A}_1^* $ および $ \bar{A}_2^* $ の収束を保証する条件は何か。
• RQ3 形式的確率的展開法と厳密な関数解析的アプローチは、補正項の導出においてどのように比較できるか。
• RQ4 決定論的セル問題に基づく摂動的展開を用いることで、確率的均質化の計算コストをどの程度低減できるか。
• RQ5 1次元設定において、形式的展開を明示的計算によって完全に厳密化できるか。また、それらは厳密な結果と一致するか。

主な発見

• 1次補正 $ \bar{A}_1^* $ は、$ L^\nu(\text{D}, L^p(\text{D})) $ における弱極限を用いて、一般の確率法則へ以前の結果を拡張して厳密に存在が証明され、計算可能である。
• 2次補正 $ \bar{A}_2^* $ は、$ N \to \infty $ のとき部分列の極限として収束し、1次元設定では明示的計算により収束が確立されている。
• 1次元設定において、$ b_\theta $ の法則から導かれる形式的展開は、関数解析からの厳密な結果と一致しており、形式的アプローチの妥当性が裏付けられている。
• $ \bar{A}_2^* $ は、$ \mathbb{E}(\bar{B}_0) $、$ \text{Var}(\bar{B}_0) $、および $ \mathbb{E}(\bar{B}_0)^2 $ を含む3つの項の和として明示的に表現されており、正規化セル上の積分が補正子と補助関数を含む。
• 数値実験により、摂動的手法が中程度の摂動強度に対しても計算的に効率的で正確であることが確認され、直接的な確率的均質化を上回る計算コストの低減が示された。
• 形式的アプローチにより、パスワイズ実現に依存せず、周期的構造と摂動の2次モーメントにのみ依存する決定論的かつ計算可能な補正項が得られる。