[論文レビュー] Elephant random walks with delays

Allan Gut, Ulrich Stadtmüller|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、歩行者が各ステップで停止する確率を有するように、記憶依存的ステップメカニズムを3状態プロセス（±1, 0）に一般化することで、ゾウの非生きたランダムウォーク（ERW）に遅延を組み込む。位置の弱大数法則と漸近的正規性を確立し、期待値と分散が線形に増加することを示し、極限分布は記憶構造と遅延確率に依存する。

ABSTRACT

In the simple random walk the steps are independent, viz., the walker has no memory. In contrast, in the Elephant Random walk (ERW), which was introduced by Schütz and Trimper in 2004, the walker remembers the whole past, and the next step always depends on the whole path so far. One extension, as suggested in a recent paper by Bercu et al. (arXiv:1902.11220v1), is to allow for delays, that is, to put mass at zero. Our aim is to extend known result for the ordinary ERW to a Random Walk With Delays (ERWD).

研究の動機と目的

• 各ステップで停止する可能性を組み込むことで、古典的ゾウの非生きたランダムウォークを一般化すること。
• 通常のERWに関する既知の結果（たとえば、大数法則と漸近的正規性）を遅延がある場合にまで拡張すること。
• 記憶が制限された状態（たとえば、最初のステップのみ、または最新のステップのみを記憶する）におけるウォークの挙動を分析すること。
• さまざまな記憶構造と遅延設定下での位置過程の極限分布（平均と分散を含む）を特定すること。
• 記憶構造と関連して、遅延ERWモデルにおけるフェーズ転移と臨界パラメータを同定すること。

提案手法

• K を 1 から n までの一様分布から選ぶことにより、次ステップが +X_K、-X_K、または 0 となる確率がそれぞれ p、q、r（p+q+r=1）であるゾウの非生きたランダムウォーク（ERWD）を定義する。
• 条件付き期待値 E(X_{n+1} | G_n) = (2p - 1) * S_n / n を用いて、マルティンゲール構造とモーメント方程式を導出する。
• 固定初期条件の下で、位置 T_n の一次および二次の絶対モーメントおよび中心モーメントを計算するためにモーメント法を適用する。
• 差分方程式と漸近展開を用いて、E(T_n) および Var(T_n) の漸近的表現を導出し、n に対して線形増加を示す。
• ウォークによって形成されるマルコフ連鎖の一様エルゴード性を用いて弱収束を確立し、マルコフ連鎖の中心極限定理の適用を可能にする。
• 初期値が固定（X_1 = 1, -1, または 0）の場合の結果を、混合分布を用いて期待値と分散を組み合わせることで、確率的初期値の場合に一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 停止確率（ゼロステップ確率）が非ゼロである場合、ゾウの非生きたランダムウォークの長期的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ2 完全記憶と制限記憶の両方において、遅延付きERWの漸近的法則の法則と中心極限定理は何か？
• RQ3 標準ERWにおける p = 3/4 でのフェーズ転移が、遅延ERWモデルでも成立するか？また、臨界点は遅延確率 r にどのように依存するか？
• RQ4 ゾウが最初のステップのみ、または最新のステップのみを記憶する場合、位置の平均と分散は時間とともにどのように増加するか？
• RQ5 初期ステップが確率的である場合、正規化された位置の極限分布は、正規分布と原点におけるデルタ関数の混合として特徴付けられるか？

主な発見

• n → ∞ のとき、E(S_n)/n は確率的に (p - q)/(2 + q - p) に収束し、遅延ERWにおける大数法則が確立される。
• S_n の分散は n に対して線形に増加し、Var(S_n) ~ n * σ_S² となる。ここで σ_S² = [(p - q)² / (2 + q - p)²] * (p + q - (p - q)²) である。
• 正規化された位置 (S_n - n(p - q)X_1 / (2 + q - p)) / √n は、分布的に (p + q)N(0, σ_T²) + rδ₀ の混合分布に収束する。
• ゾウが最初のステップのみを記憶する場合、平均は n に対して線形に増加し、分散に対しても線形増加が成立し、モーメント方程式を用いて明示的な式が導出される。
• 最新ステップのみを記憶する場合、プロセスはマルコフ的かつ一様エルゴード的であり、マルコフ連鎖の中心極限定理の適用が可能になる。
• 遅延モデルにおけるフェーズ転移の臨界点は p - q = 1/2 のときであり、r = 0 のとき p = 3/4 に還元され、元のERWと整合的である。