[論文レビュー] Elicitability and its Application in Risk Management

Jonas R. Brehmer|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2017

Risk and Portfolio Optimization参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

この修士論文は、統計的予測とリスク管理における「誘導可能性（elicibility）」の概念を調査し、分布関数の汎関数を正確に報告するようインcentivizeする厳密に一貫したスコア関数の役割に焦点を当てる。本研究では、一般的なリスク指標の一つであるバリューアットリスク（VaR）は誘導可能である一方、期待ショートフォール（ES）は誘導可能でないが、VaRと同時に誘導可能であることが示され、リスク管理分野における重要な矛盾が解消される。

ABSTRACT

Elicitability is a property of $\mathbb{R}^k$-valued functionals defined on a set of distribution functions. These functionals represent statistical properties of a distribution, for instance its mean, variance, or median. They are called elicitable if there exists a scoring function such that the expected score under a distribution takes its unique minimum at the functional value of this distribution. If such a scoring function exists, it is called strictly consistent for the functional. Motivated by the recent findings of Fissler and Ziegel concerning higher order elicitability, this thesis reviews the most important results, examples, and applications which are found in the relevant literature. Moreover, we also contribute our own examples and findings in order to give the reader a well-founded overview of the topic as well as of the most used tools and techniques. We include necessary and sufficient conditions for strictly consistent scoring functions, several elicitable as well as non-elicitable functionals and the use of elicitability in forecast comparison, regression, and estimation. Special emphasis is placed on quantitative risk management and the result that Value at Risk and Expected Shortfall are jointly elicitable.

研究の動機と目的

• 誘導可能性の理論的基盤と、厳密に一貫したスコア関数を通じた真実の予測を保証する役割を検討する。
• リスク管理分野の中心的問題に取り組む：期待ショートフォール（ES）は共通性を満たすが誘導可能でない。一方、バリューアットリスク（VaR）は誘導可能だが共通性を満たさない。
• 期待ショートフォール（ES）がバリューアットリスク（VaR）と共同して誘導可能であることを示し、共通性と誘導可能性のトレードオフを解消する。
• 特にリスク指標の文脈において、ベクトル値関数への誘導可能性理論を拡張する。
• 誘導可能性の原則を用いた予測比較、回帰、推定の実践的応用を提供する。

提案手法

• 分布族上の統計的汎関数の枠組みを用い、厳密に一貫したスコア関数を用いて誘導可能性を定義する。
• オスバンドの原理を適用し、与えられた汎関数に対して厳密に一貫したスコア関数を特徴付ける。
• ベクトル値関数（例：(VaRα, ESα)）が個々に誘導可能でない場合でも、共同して誘導可能であることを示すために、共同誘導可能性の概念を用いる。
• 分散や期待分位数（expectile）の例を分析し、分散は単独では誘導可能でないが、平均と組み合わせると誘導可能になることを示す。
• Gneiting（2016）、FisslerとZiegel（2016）らの結果を基に、誘導可能性の必要十分条件を確立する。
• 特にルベーグ＝スタイリージェス積分や微分可能性の証明を含む数学的分析を用いて、特定の例における理論的主張を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのリスク指標が誘導可能であり、その性質がインcentive-compatibleな予測にどのように重要か？
• RQ2 期待ショートフォール（ES）は、バリューアットリスク（VaR）などの他の汎関数と共同して誘導可能にできるか？
• RQ3 与えられた汎関数に対してスコア関数が厳密に一貫するための必要十分条件は何か？
• RQ4 共同誘導可能性の概念は、リスク指標における共通性と誘導可能性の矛盾をどのように解消するか？
• RQ5 誘導可能性は、定量的リスク管理における比較的バックテストとモデル評価にどのような意味を持つのか？

主な発見

• バリューアットリスク（VaR）は誘導可能であり、インcentive-compatibleなリスク報告の基盤を提供する。
• 期待ショートフォール（ES）は、単変量汎関数として誘導可能でないため、比較的バックテストにおける使用に支障をきたす。
• 期待ショートフォール（ES）は、FisslerとZiegel（2016）の証明により、バリューアットリスク（VaR）と共同して誘導可能である。これにより、共通性と誘導可能性の矛盾が解消される。
• 有限スペクトル（異なる水準におけるESの有限凸結合）を持つすべてのスペクトルリスク指標は、共同して誘導可能である。
• ベクトル値関数（平均, 分散）は、分散が単独では誘導可能でないにもかかわらず、誘導可能である。これは共同誘導可能性の強力さを示している。
• 期待分位数バリューアットリスク（EVaR）は、共通性と誘導可能性の両方を満たし、リスク管理フレームワークにおけるESの代替案を提供する。