[論文レビュー] Elie Cartan's torsion in geometry and in field theory, an essay

Friedrich W. Hehl, Yuri N. Obukhov|ArXiv.org|Nov 9, 2007

Mathematics and Applications参考文献 54被引用数 35

ひとこと要約

本稿は微分幾何学におけるねじれ（torsion）およびその場の理論への応用について包括的なレビューを提供しており、エリ・カルタンの幾何的定式化と統一場理論におけるその役割に焦点を当てる。ねじれは、局所的並進および回転対称性を持つ時空理論、たとえばアインシュタイン＝カルタン重力理論やトランスパラレル重力理論において自然に生じる。ここではねじれはスピンや連続体内の不格子的構造（dislocation-like）構造と関連づけられ、カルタンの構造方程式およびバイクラウイ恒等式から主要な結果が導かれる。

ABSTRACT

We review the application of torsion in field theory. First we show how the notion of torsion emerges in differential geometry. In the context of a Cartan circuit, torsion is related to translations similar as curvature to rotations. Cartan's investigations started by analyzing Einsteins general relativity theory and by taking recourse to the theory of Cosserat continua. In these continua, the points of which carry independent translational and rotational degrees of freedom, there occur, besides ordinary (force) stresses, additionally spin moment stresses. In a 3-dimensional continuized crystal with dislocation lines, a linear connection can be introduced that takes the crystal lattice structure as a basis for parallelism. Such a continuum has similar properties as a Cosserat continuum, and the dislocation density is equal to the torsion of this connection. Subsequently, these ideas are applied to 4-dimensional spacetime. A translational gauge theory of gravity is displayed (in a Weitzenboeck or teleparallel spacetime) as well as the viable Einstein-Cartan theory (in a Riemann-Cartan spacetime). In both theories, the notion of torsion is contained in an essential way. Cartan's spiral staircase is described as a 3-dimensional Euclidean model for a space with torsion, and eventually some controversial points are discussed regarding the meaning of torsion.

研究の動機と目的

• 微分幾何学におけるねじれの幾何的および物理的意味を、特にカルタン接続とその平行移動への関係の文脈で明確化すること。
• 特にアインシュタイン＝カルタン理論およびトランスパラレル重力理論において、重力のゲージ理論の枠組みを通じてねじれがどのように生じるかを示すこと。
• ねじれとコッサレ・連続体におけるスピンモーメント応力および結晶格子における不格子密度といった物理的量との関係を確立すること。
• 微分形式およびカルタンの構造方程式を用いた4次元時空におけるねじれの役割を分析し、場の運動方程式および適合条件への影響を示すこと。
• さまざまなモデルにおける幾何的および物理的実現との比較を通じて、ねじれの物理的解釈に関する概念的論争を解消すること。

提案手法

• 微分形式を用いたカルタンの構造方程式によるねじれの形式化：ねじれ2形式 $ T^eta = d heta^eta + \tilde{\theta}_\rho{}^\beta \theta^\rho $、ここで $ \theta^\beta $ は余標構成、$ \tilde{\theta}_\rho{}^\beta $ は接続1形式。
• 外微分共変微分から第一および第二のバイクラウイ恒等式を導出：それぞれ $ DT^\beta = R_\rho{}^\beta \theta^\rho $ および $ DR_\beta{}^\rho = R_\rho{}^\tau \theta^\tau $。
• 4次元時空にこの形式を適用するため、余標構成および接続を導入し、リーマン＝カルタン幾何およびワイツェンボーク幾何におけるねじれおよび曲率の定義を導く。
• コッサレ連続体の変形を余標構成および接続のリー微分と関連づけ、並進および回転変形はそれぞれ $ \beta^\beta = D u^\beta - \tilde{\theta}_\rho{}^\beta u^\rho + u \rfloor T^\beta $ および $ \tilde{\theta}_\rho{}^\beta = D \tilde{\theta}_\rho{}^\beta + u \rfloor R_\rho{}^\beta $ で与えられる。
• 曲率がゼロでない非自明なリーマン＝カルタン幾何に一般化する前に、平坦なユークリッド背景を基準として変形尺度を導出する。
• 曲がった時空における導出された変形則とポアンカレゲージ理論の変換則を一致させ、幾何的定式化と整合することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれは微分幾何学においてどのように幾何学的に生じるのか、そして時空理論におけるその物理的意義は何か？
• RQ2 アインシュタイン＝カルタン理論およびトランスパラレル重力理論を通じて、一般相対性理論がどのようにねじれによって一般化されるのか？
• RQ3 ねじれは結晶材料における不格子密度およびコッサレ連続体におけるスピンモーメント応力とどのように関係するのか？
• RQ4 カルタンの構造方程式およびバイクラウイ恒等式は、4次元時空におけるねじれおよび曲率を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 コッサレ連続体の変形尺度は、非自明な幾何的背景における速度および接続場の共変微分とどのように関係するのか？

主な発見

• ねじれは無限小平行四辺形の閉じない性質を示し、平行移動における並進的欠陥として現れ、$ T_{ij}{}^k = 2\tilde{\theta}_{[ij]}{}^k \neq 0 $ として表され、曲率とは区別される。
• アインシュタイン＝カルタン理論において、ねじれは物質のスピン密度によって源を与えられ、非自明なねじれを伴うカルタンの構造方程式から場の運動方程式が導かれる。
• トランスパラレル重力（ワイツェンボーク時空）では、接続は平坦（$ R_\beta{}^\rho = 0 $）であるが、ねじれは非ゼロであり、重力の場の強さとして機能する。
• コッサレ連続体の変形は、幾何学的に $ \beta^\alpha = D u^\alpha - \omega^\alpha{}_\beta \vartheta^\beta + u \rfloor T^\alpha $ で記述され、ここで $ \omega^\alpha{}\beta $ は変形の回転的成分である。
• リーマン＝カルタン時空では、非自明なねじれおよび曲率のため、適合条件 $ \stackrel{\circ}{D}\beta^\alpha + \kappa_\beta{}^\alpha \wedge \vartheta^\beta = 0 $ および $ \stackrel{\circ}{D}\kappa_\beta{}^\alpha = 0 $ が破られる。
• 曲がった時空における導出された変形則は、符号を適切に調整すればポアンカレゲージ理論の変換則と一致し、ゲージ理論的場理論と整合することが確認される。