[論文レビュー] Eliminating Higher-Multiplicity Intersections, II. The Deleted Product Criterion in the $r$-Metastable Range

Isaac Mabillard, Uli Wagner|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 44被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、有限m次元単体的複体KのRdへのほぼr埋め込みの存在について、十分条件を確立する。r-安定範囲（rd ≥ (r+1)m + 3）において、古典的な削除積基準—KrΔから球面Sd(r−1)−1へのS r-可換写像の存在—が、必要かつ十分であることを示す。この結果は、Haefliger–Weber定理をより高い重複度へ一般化し、埋め込みにおける高重複度交差の除去のための位相的基準を提供する。

ABSTRACT

Motivated by Tverberg-type problems in topological combinatorics and by classical results about embeddings (maps without double points), we study the question whether a finite simplicial complex K can be mapped into R^d without higher-multiplicity intersections. We focus on conditions for the existence of almost r-embeddings, i.e., maps from K to R^d without r-intersection points among any set of r pairwise disjoint simplices of K. Generalizing the classical Haefliger-Weber embeddability criterion, we show that a well-known necessary deleted product condition for the existence of almost r-embeddings is sufficient in a suitable r-metastable range of dimensions (r d > (r+1) dim K +2). This significantly extends one of the main results of our previous paper (which treated the special case where d=rk and dim K=(r-1)k, for some k> 3).

研究の動機と目的

• 有限単体的複体KのRdへのほぼr埋め込みの存在についての十分条件を確立すること。ここでf(σ1) ∩ ⋯ ∩ f(σr) = ∅ は、互いに素な単体σiに対して成り立つ。
• 古典的なHaefliger–Weber埋め込み基準をr ≥ 2のより高い重複度へ一般化すること。
• 著者らの先行研究における主要な未解決問題である、r-安定範囲における削除積条件の十分性を解消すること。
• r-安定範囲におけるほぼr埋め込みの可解性を保証するアルゴリズム的決定可能性を可能にする位相的基準を提供すること。

提案手法

• Kのr重直積KrΔを、Kの互いに素な単体のr重組み合わせからなる部分複体として定義する。
• Sd(r−1)−1を、(Rd)rにおける対角部分空間の直交補空間内の単位球面とし、標準的なS r作用（置換による作用）を備えた目標空間として導入する。
• 任意のほぼr埋め込みfから、(Rd)r \ δr(Rd) からSd(r−1)−1への変形リトラクションとの合成により、KrΔ → Sr Sd(r−1)−1へのS r-可換写像efを構成する。
• 局所的非交差性と還元技術の組み合わせを用いて、このようなS r-可換写像の存在がほぼr埋め込みの存在を示すことの証明を行う。
• PL位相の高度な道具、特にブロックバンドル、正規近傍、チューブ近傍論を用いて交差の幾何を分析する。
• FilakovskýとVokřínekによるS r-可換写像の最近のアルゴリズム的結果を活用し、r-安定範囲におけるほぼr埋め込みの可解性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 r-安定範囲において、削除積基準はほぼr埋め込みの存在に十分か？
• RQ2 Haefliger–Weber定理はr ≥ 3のより高い重複度へ拡張可能か？
• RQ3 削除積条件がほぼr埋め込みの存在に十分となる正確な次元範囲（r, d, mの観点から）は何か？
• RQ4 r-安定条件のもとで、KrΔからSd(r−1)−1へのS r-可換写像の存在は、ほぼr埋め込みの存在を示唆するか？
• RQ5 r-安定範囲において、ほぼr埋め込みはアルゴリズム的に決定可能か？

主な発見

• r-安定範囲（rd ≥ (r+1)m + 3）において、S r-可換写像F: KrΔ → Sr Sd(r−1)−1の存在は、f: K → Rdへのほぼr埋め込みの存在を十分に保証する。
• この結果は、r=2の場合の古典的Haefliger–Weber定理を任意のr ≥ 2へ一般化し、埋め込み基準の高重複度版を確立する。
• 削除積条件はr-安定範囲において必要かつ十分であり、著者らの先行研究における主要な未解決問題を解消する。
• 証明は、PL位相とブロックバンドル理論を用いた、局所的非交差性と還元技術の新規な組み合わせに依拠している。
• この結果により、最近のS r-可換写像の分類に関する進展のおかげで、rとdが固定されたとき、ほぼr埋め込みの多項式時間でのアルゴリズム的決定可能性が保証される。
• この定理は、被覆次元d−mが小さい場合でも成立するが、d−m ≤ 2ではr重点の次元制約のため、条件は自明になる。