[論文レビュー] Elimination distance to bounded degree on planar graphs

Alexander Lindermayr, Sebastian Siebertz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2020

semigroups and automata theory被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、木幅解析、グリッドマイナー分解、不要頂点技術を組み合わせることで、平面グラフ上で有効次数グラフへの除去距離を計算することが固定パrameter可 tractable であることを確立している。主な結果は、時間 $ f(k,d) ^c $ で実行されるアルゴリズムであり、パrameter $ k $（除去距離）と $ d $（最大次数）に対して固定パrameter可 tractable を示している。

ABSTRACT

We study the graph parameter elimination distance to bounded degree, which was introduced by Bulian and Dawar in their study of the parameterized complexity of the graph isomorphism problem. We prove that the problem is fixed-parameter tractable on planar graphs, that is, there exists an algorithm that given a planar graph $G$ and integers $d$ and $k$ decides in time $f(k,d)\cdot n^c$ for a computable function~$f$ and constant $c$ whether the elimination distance of $G$ to the class of degree $d$ graphs is at most $k$.

研究の動機と目的

• BulianとDawarが残した未解決の問題である、平面グラフ上での有効次数グラフへの除去距離のパラメータ化された複雑性を解明すること。
• マイナー閉じているクラスを超えて固定パrameter可 tractability の結果を拡張すること。なぜなら、有効次数グラフのクラスはマイナー閉じていないからである。
• $ K_5 $ をマイナーとして含まないグラフに対して、$ \mathscr{C}_d $ への除去距離に注目した構造的アルゴリズム枠組みを構築すること。
• $ K_5 $-マイナーを含まないグラフ、特に平面グラフ上で除去距離問題がパrameter $ k $ と $ d $ に対して固定パrameter可 tractable であることを証明すること。

提案手法

• 入力グラフの木幅が $ k $ の関数で有界である場合には、$ \mathscr{C}_{k,d} $ のモノディック第二階論理（MSO）定義可能性を活用して、Courcelleの定理を適用する。
• 平面グラフの構造を活用して、多項式時間でサイズ $ h(k) = (4k+5) \cdot k \cdot (2k+1) $ の大きなグリッドマイナーを計算する。
• グリッドマイナーのブランチ集合に基づく構造的解析を用いて、次数が $ \geq d+1 $ の頂点およびその近傍を特定する。
• コロナリー8を適用して、$ k \cdot (2k+1)^2 $ 個を超えるブランチ集合に高次度頂点が含まれる場合、$ \mathscr{C}_{k,d} $ に属さないことを除外する。
• コロナリー11を適用して、$ (k,d) $-安全なブランチ集合を特定し、これは $ \mathscr{C}_{k,d} $ への属性に影響を及げない不要な頂点が存在することを示唆する。
• 繰り返し不要な頂点を削除し、最終的に木幅が小さい（ケース1）か、高次度頂点の条件が満たされて否定の答えが得られる（ケース2.1）かのいずれかになるまで処理を継続する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有効次数グラフへの除去距離は、平面グラフ上で固定パrameter可 tractable か？
• RQ2 ターゲットクラス $ \mathscr{C}_d $ がマイナー閉じていない場合でも、除去距離問題は効率的に解けるか？
• RQ3 $ K_5 $-マイナーを含まないグラフに大きなグリッドマイナーが存在する場合、不要な頂点技術による構造的簡略化が可能か？
• RQ4 木幅解析とグリッドマイナー分解の組み合わせにより、スパarsなグラフクラスにおける除去距離の固定パrameter可 tractable なアルゴリズムを導出できるか？

主な発見

• 有効次数グラフへの除去距離は、$ K_5 $-マイナーを含まないグラフ、特に平面グラフ上でパrameter $ k $ と $ d $ に対して固定パrameter可 tractable である。
• ある平面グラフが最大次数 $ d $ のグラフへの除去距離が高々 $ k $ であるかどうかを判定するアルゴリズムが存在し、計算可能関数 $ f $ と定数 $ c $ を用いて時間 $ f(k,d) \cdot n^c $ で実行可能である。
• 証明は、グリッドマイナーを用いた構造的分解と、高次度頂点がマイナー内で疎である場合の不要な頂点の特定に依存している。
• グリッドマイナーの $ k \cdot (2k+1)^2 $ 個を超えるブランチ集合に次数 $ d+1 $ 以上の頂点が含まれる場合、グラフは $ \mathscr{C}_d $ への除去距離 $ k $ を持たない。
• このようなブランチ集合の数が少ない場合、$ (k,d) $-安全なブランチ集合が存在し、不要な頂点の検出を用いた繰り返し頂点削除が可能になる。
• 全体のアルゴリズムは時間 $ f(k,d) \cdot n^c $ で実行され、多項式時間の前処理と、木幅および構造的分解に基づく固定パrameter可 tractable ステップを組み合わせる。