[論文レビュー] Elimination Distances, Blocking Sets, and Kernels for Vertex Cover

Eva-Maria C. Hols, Stefan Kratsch+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Advanced Graph Theory Research被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、構造的グラフクラスへのブロッキング集合と除去距離の概念を導入することで、Vertex Coverの多項式カーネル化結果を統一的かつ一般化する。最小ブロッキング集合のサイズが有界であることこそ多項式カーネル化に不可欠であるが、十分ではないことを示し、ブロッキング集合が有界かつ計算可能である場合、モジュレーターの補数におけるコンponents数をO(|X|^d)に効率的に削減できることを示す。これにより、森、二部グラフ、CLPグラフなどのクラスに対して、除去距離パラメータを用いて多項式カーネル化が可能になる。

ABSTRACT

The Vertex Cover problem plays an essential role in the study of polynomial kernelization in parameterized complexity, i.e., the study of provable and efficient preprocessing for NP-hard problems. Motivated by the great variety of positive and negative results for kernelization for Vertex Cover subject to different parameters and graph classes, we seek to unify and generalize them using so-called blocking sets. A blocking set is a set of vertices such that no optimal vertex cover contains all vertices in the blocking set, and the study of minimal blocking sets played implicit and explicit roles in many existing results. We show that in the most-studied setting, parameterized by the size of a deletion set to a specified graph class ?, bounded minimal blocking set size is necessary but not sufficient to get a polynomial kernelization. Under mild technical assumptions, bounded minimal blocking set size is showed to allow an essentially tight efficient reduction in the number of connected components. We then determine the exact maximum size of minimal blocking sets for graphs of bounded elimination distance to any hereditary class ?, including the case of graphs of bounded treedepth. We get similar but not tight bounds for certain non-hereditary classes ?, including the class ?_{LP} of graphs where integral and fractional vertex cover size coincide. These bounds allow us to derive polynomial kernels for Vertex Cover parameterized by the size of a deletion set to graphs of bounded elimination distance to, e.g., forest, bipartite, or ?_{LP} graphs.

研究の動機と目的

• 多様なグラフクラスにわたるVertex Coverの既存の多項式カーネル化結果を、ブロッキング集合の概念を用いて統一的かつ一般化すること。
• 木深さやCLPグラフを含む、遺伝的クラスへの除去距離が有界なグラフにおける最小ブロッキング集合の正確な最大サイズを特定すること。
• グラフクラスCへの削除距離をパラメータとする場合に、多項式カーネル化が存在するための、有界なブロッキング集合サイズを越えた必要十分条件を確立すること。
• モジュレーター補数の連結成分数をO(|X|^d)に効率的に削減する前処理ルーチンを開発すること。
• CLP（整数および分数の頂点被覆サイズが一致する）のような非遺伝的クラスへカーネル化結果を拡張し、(CLP, d)-モジュレーターを用いること。

提案手法

• 最小頂点被覆に含まれない集合としてのブロッキング集合を定義し、包含関係における最小ブロッキング集合に注目する。
• グラフクラスCへの除去距離を、木深さやその他の階層的パラメータを一般化する構造的パラメータとして導入する。
• 多項式カーネル化に有界な最小ブロッキング集合サイズが必要であることを示し、NP ⊆ coNP/polyに基づく下界還元を用いる。
• Cが強固で、ブロッキング集合が計算可能である場合に、G−Xにおける連結成分数をO(|X|^d)に効率的に削減するアルゴリズムを開発する。
• Nemhauser-Trotter定理とLP緩和技術を用いて、半整数解を分析し、OPT(G)−LP(G)の境界を導出する。
• 除去距離とブロッキング集合の境界に関する結果を統合し、(CLP, d)-モジュレーターがVertex Coverに対して確率的多項式カーネルをもたらすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフクラスCにおける有界な最小ブロッキング集合サイズは、Cへの削除距離をパラメータとするVertex Coverの多項式カーネル化において、必要かつ十分か？
• RQ2 遺伝的グラフクラスCへの除去距離がdであるグラフにおける最小ブロッキング集合の正確な最大サイズは何か？
• RQ3 CLP（整数および分数の頂点被覆サイズが一致するクラス）を含む非遺伝的クラスにおいて、(CLP, d)-モジュレーターのサイズをパラメータとするVertex Coverに多項式カーネル化が達成可能か？
• RQ4 Cへの除去距離は、木深さやその他の構造的パラメータを一般化し、カーネル化を可能にする仕組みとしてどのように機能するか？
• RQ5 Cに対して、強固性やブロッキング集合の計算可能性といった弱い仮定のもとで、コンponents削減ステップを効率的かつタイトにできるか？

主な発見

• グラフクラスCにおける有界な最小ブロッキング集合サイズは、Cへの削除距離をパラメータとするVertex Coverの多項式カーネル化に不可欠であるが、十分ではない。
• 遺伝的クラスCへの除去距離dのグラフにおける最小ブロッキング集合の最大サイズは正確にd+1であり、すべてのこのようなクラスに対してタイトな境界が成立する。
• 非遺伝的クラス（例：CLP）では、最小ブロッキング集合の最大サイズは2d以下であり、弱いが依然として有用な境界をもたらす。
• CLPクラスへの削除距離がdであるモジュレーターのサイズをパラメータとするVertex Coverは、確率的多項式カーネルを有し、先行研究を包含・一般化する。
• Cが強固で、ブロッキング集合が計算可能な場合、G−Xにおける連結成分数は多項式時間内でO(|X|^d)に削減可能であり、既知の下界と一致する。
• 最適な(CL P, d)-モジュレーターのサイズは、整数および分数の頂点被覆サイズの差の2倍以下であり、d-木深さモジュレーターのサイズ以下である。