[論文レビュー] Elimination Theory in Codimension Two

Alicia Dickenstein, Bernd Sturmfels|ArXiv.org|Feb 27, 2001

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、2次元のトーリック多様体におけるチャウ形式、判別式、および結果式の正確な公式を、ニュートン多角形および補助多面体の組み合わせ的構成を用いて導出する。双対多様体が超曲面であるための必要十分条件は、補助多角形が中心対称でないことであることが示され、判別式に現れる項の数に対するタイトな上限が得られ、ニュートン多角形の体積に比例して線形に増加する。

ABSTRACT

New formulas are given for Chow forms, discriminants and resultants arising from (not necessarily normal) toric varieties of codimension 2. Exact descriptions are also given for the secondary polygon and for the Newton polygon of the discriminant.

研究の動機と目的

• 2次元のトーリック多様体へのスパース消去理論の一般化を図り、二項超曲面に対する古典的公式を拡張する。
• ギャール双対性および補助多面体に基づく組み合わせ的構成を用いて、判別式の正確なニュートン多角形を同定する。
• 補助多角形の中心対称性を用いて、射影的双対多様体が超曲面である条件を特徴付ける。
• 特にカイレー配置に対して、混合系の判別式に現れる項数に対するタイトな上限を導出する。
• カイレーの技法とスパース系の方程式を用いて、理論を混合結果式および超幾何関数と結びつける。

提案手法

• 著者らはギャール双対性を用いて、定義行列Bの配置から補助多面体および判別式のニュートン多角形を構成する。
• パラメータ化された単項式の係数から得られるブラケット行列の行列式としてチャウ形式を導出する。
• 対角行列に特定の整数ベクトルを代入することで、双対化された多項式が得られる。
• 判別式は、単位根の積分を用いた根の積による公式から得られ、二項式の共通零点における三項式の評価が行われる。
• ピックの定理をニュートン多角形に適用することで、判別式に現れる項数の上限が得られ、配置ベクトルの行列式に比例する線形上界が得られる。
• カイレー構成を用いて、判別式をr個の二項式と1つのローレンツ三項式のスパース結果式として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元のトーリック多様体の射影的双対多様体が超曲面であるのはいつか？ そして、これはどのように組み合わせ的に特徴付けられるか？
• RQ2 2次元のトーリック多様体における判別式の正確なニュートン多角形の構造は何か？
• RQ3 混合方程式系の判別式に現れる項の数はいくつで、その数はタイトに上界で抑えられるか？
• RQ4 2次元のトーリック多様体のチャウ形式は、係数パrameterから得られるブラケット行列の行列式として表現可能か？
• RQ5 カイレーの技法は、トーリック多様体の判別式と、二項式と三項式の系のスパース結果式とをどのように関係付けるか？

主な発見

• 判別式のニュートン多角形は、ギャール双対配置における原点および2つのベクトルc₁, c₂の凸包と同型である。
• 例では判別式が正確に12項から構成され、3つの二項式および1つの10次元の既約五次式因数に分解される。
• 判別式に現れる項数は、(5/4)Γ + 7/4以下であり、ここでΓ = |det(c₁, c₂)|である。この上限は、c₁とc₂がℤ²を生成する場合にタイトである。
• チャウ形式に9×2の整数ベクトルの行列を代入することで、正確に12項からなる多項式が得られ、全判別式が得られる。
• 双対多様体が超曲面であるのは、補助多角形が中心対称でない場合に限られ、これは補題4.5によって確立されている。
• 例における判別式は、1つの三項式と3つの二項式の系のスパース結果式として表現可能であり、超幾何関数論におけるその役割を裏付けている。