[論文レビュー] Elimination via saturation

Mohamed Barakat, Markus Lange‐Hegermann+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2017

Polynomial and algebraic computation参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ブロック除去順序を避けるために同次化とイデアルの飽和を用いる多項式環における除去のための飽和に基づくアルゴリズムを提示する。$I \cap B$ の除去イデアルが $I^h \cap B$ として計算できることを示し、$I^h$ は $x_0$ を同次化変数として用いた $I$ の同次化である。これにより、次数反転辞書的順序を含む任意の単項式順序を用いた除去が可能になる。

ABSTRACT

This short paper presents saturation-based algorithms for homogenization and elimination. This algorithm can compute elimination ideals by using syzygies and ideal membership test, hence it works with any} monomial order, in particular without the use of block-elimination orders. The used saturation is a translation of the geometric fact that the projective closure of an affine scheme has no components in the hyperplane at infinity.

研究の動機と目的

• 飽和が除去の計算に用いられることを示すか、通常のイデアル商と飽和計算の方向とは逆に用いられるかを明らかにすること。
• 構成的除去理論が構成的モジュール理論の特別な場合であるかを調査し、特に次数反転辞書的順序のようなブロック順序でない順序が除去に用いられるかを検討すること。
• ブロック除去単項式順序に依存せずに除去イデアル $I \cap B$ を計算するための手法を提供すること。
• 射影的閉包と飽和の間の幾何的・代数的対応関係を確立し、$\overline{X}$ が無限遠の超平面に成分を持たないという事実を代数的飽和に翻訳すること。
• この手法を多項式環上の自由モジュールの部分モジュールへ一般化すること。

提案手法

• 新しい変数 $x_0$ を用いて、$I \subset R = B[x_1,\dots,x_n]$ のイデアルを同次化し、$I^h \subset S = B[x_0,\dots,x_n]$ を形成する。
• 生成集合 $G$ が $I$ の生成系であるとき、$I^h$ を $\langle g^h \mid g \in G \rangle : x_0^\infty$ として飽和により計算する。
• サイジージの計算を用いた繰り返しイデアル商により飽和を実行する。これは、$B$ に有効な剰余類代表元が存在する場合に実行可能である。
• 生成集合に $x_0, \dots, x_n$ をすべて 0 に代入することで、除去イデアル $I \cap B$ を得る。
• 各生成元を $S$-同次化し、得られたモジュールを飽和することで、$R^\ell$ の部分モジュールへこの手法を一般化する。
• 幾何的事実の代数的翻訳を活用する：アフィンスキーム $X$ の射影的閉包 $\overline{X}$ が無限遠の超平面に成分を持たないことは、$I^h \cap B = I \cap B$ に対応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 飽和が、イデアル商や飽和計算のためのものではなく、除去の計算ツールとして用いられる可能性はあるか？
• RQ2 除去理論は構成的モジュール理論の特別な場合であるか。特に、次数反転辞書的順序のようなブロック順序でない単項式順序が除去に使用可能か？
• RQ3 ブロック除去グレブナー基底を用いずに、イデアルの同次化を飽和により計算できるか？
• RQ4 任意の可換単位的基底環 $B$ に対して、$I \cap B = I^h \cap B$ の等式が成り立つか？制限なしに成り立つか？
• RQ5 この手法はイデアルから有限ランク自由モジュールの部分モジュールへ拡張可能か？

主な発見

• 除去イデアル $I \cap B$ は、$x_0$ を用いた $I$ の同次化 $I^h$ に対して $I^h \cap B$ と等しい。これは、この手法に幾何的・代数的根拠を与える。
• 同次化イデアル $I^h$ は $\langle g^h \mid g \in G \rangle : x_0^\infty$ として計算可能であり、これによりブロック除去順序を必要としない計算が可能になる。
• $J = \langle g^h \mid g \in G \rangle$ に対する飽和 $J : x_0^\infty$ は、サイジージを用いた繰り返しイデアル商により計算可能であり、$B$ に有効な剰余類代表元が存在する場合には有効である。
• 生成集合に $x_0, \dots, x_n$ をすべて 0 に代入することで、$I \cap B$ の生成集合が得られ、除去プロセスが完了する。
• この手法は $R^\ell$ の部分モジュールへ一般化可能であり、各成分の同次化と $S^\ell$ における飽和を経て、0 への代入により除去が達成される。
• このアプローチは任意の可換単位的基底環 $B$ に対して有効であり、体やネノーアス環に制限を設けずに、完全な一般性において証明が与えられている。