[論文レビュー] $\ell$-torsion bounds for the class group of number fields with an $\ell$-group as Galois group

Jürgen Klüners, Jiuya Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、可解拡大体の範囲で、類群の$\varepsilon$-捩れの境界、Malleの数え上げ予想、判別式の重複度予想という3つの中心的予想の同値性を確立する。$\varepsilon$-拡大体に対して$\varepsilon$-捩れ予想を証明し、単純な群に対してMalleの予想および判別式の重複度予想を示す。ガロア群と数体の合成体の群論的・判別式的解析を用いる。

ABSTRACT

We describe the relations among the $\ell$-torsion conjecture, a conjecture of Malle giving an upper bound for the number of extensions, and the discriminant multiplicity conjecture. We prove that the latter two conjectures are equivalent in some sense. Altogether, the three conjectures are equivalent for the class of solvable groups. We then prove the $\ell$-torsion conjecture for $\ell$-groups and the other two conjectures for nilpotent groups.

研究の動機と目的

• 算術統計における$\varepsilon$-捩れ予想、Malleの予想、判別式の重複度予想の相互関係を明確化すること。
• $\varepsilon$-拡大体（ガロア群が$\varepsilon$-群である場合）における$\varepsilon$-捩れ予想を証明すること。
• 単純なガロア群に対してMalleの予想および判別式の重複度予想を確立すること。
• 群論的および判別式の解析を用いて、可解拡大体において3つの予想が同値であることを示すこと。
• ガロア群の構造を通じて、類群の捩れ、拡大体の数え上げ、判別式の重複度を統一的に結びつける枠組みを提供すること。

提案手法

• $\varepsilon$-拡大体の類群における$\varepsilon$-捩れを分析するため、種の理論と置換群作用を用いる。
• 数体の合成体の判別式を制限するために、ヒルベルトの分岐論を適用する。
• 群の元におけるインデックス関数$\mathop{\rm ind}(g)$を用いて、ガロア群の構造と数え上げ関数を関連付ける。
• $G^k$の許容可能な置換部分群を分析し、与えられた判別式を持つ拡大体の数の上限を導出する。
• 判別式の境界$\mathop{\rm Disc}(E/F) \leq C_2 D^{[E:\mathbb{Q}]}$を適用して、数え上げ関数の成長を制御する。
• 帰納法と群のワルト積を用いて、$G$から$G^k$への結果の拡張を行い、$\sum_D a_D^k$の境界を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可解拡大体において、$\varepsilon$-捩れ予想、Malleの予想、判別式の重複度予想は同値であるか？
• RQ2 $\varepsilon$-拡大体（ガロア群が$\varepsilon$-群である場合）において$\varepsilon$-捩れ予想は成り立つか？
• RQ3 単純なガロア群に対してMalleの予想および判別式の重複度予想は証明可能か？
• RQ4 $G^k$における群の元のインデックスは、$G$におけるインデックスとどのように関係するか？
• RQ5 固定された判別式を持つ$G$-拡大体の数と$G$の構造との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• $\varepsilon$-拡大体において$\varepsilon$-捩れ予想は成り立つ。つまり、すべての$\varepsilon > 0$に対して、$D$を絶対判別式として、$h_\ell(E) = O_{\epsilon,n,\ell,F}(D^\epsilon)$が成り立つ。
• 単純群$G$に対して、Malleの予想および判別式の重複度予想は真である。すなわち、$N(F,G;X) = O_{\epsilon,F}(X^{1/a(G)+\epsilon})$および$a_D = O_{\epsilon,F,n}(D^\epsilon)$が成り立つ。
• 可解拡大体において3つの予想は同値である：予想B（Malle）は予想C（判別式の重複度）を含み、逆も成り立つ。
• インデックス関数は、$\bar{g} \in G$の上への像$\tilde{g}$に対して$\mathop{\rm ind}(\tilde{g}) \geq d \cdot \mathop{\rm ind}(\bar{g})$を満たし、これが合成体における判別式の成長を制御する。
• 判別式が$\mathop{\rm Disc}(E_i/F) \leq X$を満たす合成体$E = \prod_{i=1}^k E_i$に対して、判別式は$\mathop{\rm Disc}(E/F) \leq C_2 X^{[F:\mathbb{Q}] \cdot a(H) \cdot (\deg/\mathop{\rm ind})(G)}$を満たし、これにより数え上げ関数の制御が可能になる。
• 定数$C_1 = [F:\mathbb{Q}] \cdot (\deg/\mathop{\rm ind})(G)$により、予想Bのもとで$\sum_D a_D^k \ll_{k} X^{C_1 + \epsilon}$が成り立つ。これにより、Malleの予想から判別式の重複度への含意が証明される。