[論文レビュー] Elliptic Algebra U_{q,p}(g^) and Quantum Z-algebras

Rasha M. Farghly, Hitoshi Konno+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$p$に関する形式的べき級数代数として、楕円的代数 $U_{q,p}(\\-widehat{\mathfrak{g}})$ の新しい位相的定義を提示し、Lepowsky-Wilsonの$Z$-代数の量子ダイナミカルな類似物 $\mathcal{Z}_k$ を構成する。この $\mathcal{Z}_k$ は、無限次元の $U_{q,p}(\ -\widehat{\mathfrak{g}})$-加群の既約性を支配する。レベル1の $U_{q,p}(\ -\widehat{\mathfrak{g}})$-加群と、レベル $(r-g-1,1)$ の $\widehat{\mathfrak{g}} \oplus \widehat{\mathfrak{g}} \supset (\widehat{\mathfrak{g}})_{\text{diag}}$ のコセットから得られる $W$-代数との直接的な関係を確立する。$\mathfrak{g} = B_l^{(1)}$ の場合、Fateev-Lukyanovの $WB_l$-代数が含まれる。この構成は、基本的重み型や正規直交基底型といった新しい種類の楕円的ボソンに依存しており、レベル1表現の明示的実現を可能にし、$A_l^{(1)}$ および $D_l^{(1)}$ に対して、楕円的カレントが変形 $W$-代数のスクリーニングカレントと一致することを確認する。本研究は、量子 $Z$-代数理論を楕円的量子群へ拡張し、フェース型楕円的可解格子模型のための枠組みを提供する。

ABSTRACT

A new definition of the elliptic algebra U_{q,p}(g^) associated with an untwisted affine Lie algebra g^ is given as a topological algebra over the ring of formal power series in p. We also introduce a quantum dynamical analogue of Lepowsky-Wilson's Z-algebras. The Z-algebra governs the irreducibility of the infinite dimensional U_{q,p}(g^)-modules. Some level-1 examples indicate a direct connection of the irreducible U_{q,p}(g^)-modules to those of the W-algebras associated with the coset g^ \oplus g^ \supset (g^)_{diag} with level (r-g-1,1) (g:the dual Coxeter number), which includes Fateev- Lukyanov's WB_l-algebra.

研究の動機と目的

• $U_{q,p}(\ -\widehat{\mathfrak{g}})$ を $p$ に関する形式的べき級数上での位相的代数として定義し、従来の実現を超えてその構造を拡張すること。
• 無限次元の $U_{q,p}(\ -\widehat{\mathfrak{g}})$-加群の既約性を支配する、$Z$-代数の量子ダイナミカル類似物 $\mathcal{Z}_k$ を導入すること。
• レベル1の $U_{q,p}(\ -\widehat{\mathfrak{g}})$-加群と、レベル $(r-g-1,1)$ の $\widehat{\mathfrak{g}} \oplus \widehat{\mathfrak{g}} \supset (\widehat{\mathfrak{g}})_{\text{diag}}$ のコセットから得られる $W$-代数との直接的な関係を確立すること。$WB_l$-代数を含む。
• $L$-作用素と変形 $W$-代数の自由場実現を実現するための、新たな種類の楕円的ボソン（基本的重み型 $A^j_m$ および正規直交基底型 $\mathcal{E}^{\pm j}_m$）を構成すること。
• $A_l^{(1)}$ および $D_l^{(1)}$ に対して、$U_{q,p}(\ -\widehat{\mathfrak{g}})$ のレベル1楕円的カレント $e_j(z)$ と $f_j(z)$ が、変形 $W$-代数のスクリーニングカレントと一致することを検証し、スクリーニング作用素の代数的構造に関する予想を確認すること。

提案手法

• $p$ に関する形式的べき級数 $\mathbb{C}[[p]]$ 上の位相的代数として $U_{q,p}(\ -\widehat{\mathfrak{g}})$ を定義し、$p = q^{2r}$ と置いた $U_q(\ -\widehat{\mathfrak{g}})$ のDrinfeld実現を一般化する。
• $\mathbb{C}[[q^{2k}]]$ 上の位相的代数として、生成元 $Z_{j,m}^\pm$ と $q_j^{\pm h_j}$ からなる量子ダイナミカル $Z$-代数 $\mathcal{Z}_k$ を導入し、レベル $k$ の $U_{q,p}(\ -\widehat{\mathfrak{g}})$-加群から得られる関係式を用いる。
• $\alpha_{j,m}$ とは異なる、基本的重み型 $A^j_m$ と正規直交基底型 $\mathcal{E}^{\pm j}_m$ の新しい種類の楕円的ボソンを構成し、$L$-作用素とスクリーニングカレントの実現に用いる。
• $\mathfrak{g} = A_l^{(1)}, B_l^{(1)}, D_l^{(1)}, E_6^{(1)}, E_7^{(1)}, E_8^{(1)}$ に対して、$\mathcal{Z}_k$ とレベル $k$ の楕円的ボソンを用いて、$U_{q,p}(\ -\widehat{\mathfrak{g}})$ のレベル1最高重み表現を実現する。
• [26,27,28] の自由場実現との明示的比較により、$A_l^{(1)}$ および $D_l^{(1)}$ に対して、$U_{q,p}(\ -\widehat{\mathfrak{g}})$ のレベル1楕円的カレント $e_j(z)$ と $f_j(z)$ が、変形 $W$-代数のスクリーニングカレントと一致することを確認する。
• $A_l^{(1)}, B_l^{(1)}, D_l^{(1)}$ の場合、$U_{q,p}(\ -\widehat{\mathfrak{g}})$ の既約加群が、コセット型の $W$-代数の直和に分解されることを示し、$B_l^{(1)}$ の場合、$WB_l$-代数の変形が予想されることを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $U_{q,p}(\ -\widehat{\mathfrak{g}})$ を $p$ に関する形式的べき級数上での位相的代数として、厳密に定義することは可能か？
• RQ2 $U_{q,p}(\ -\widehat{\mathfrak{g}})$ に対して、$Z$-代数の量子ダイナミカル類似物の構造は何か？ そして、それが無限次元加群の既約性をどのように支配するか？
• RQ3 レベル1の $U_{q,p}(\ -\widehat{\mathfrak{g}})$-加群と、レベル $(r-g-1,1)$ の $\widehat{\mathfrak{g}} \oplus \widehat{\mathfrak{g}} \supset (\widehat{\mathfrak{g}})_{\text{diag}}$ のコセットから得られる $W$-代数との間には、直接的な代数的関係があるか？
• RQ4 基本的重み型と正規直交基底型の新しい種類の楕円的ボソンを明示的に構成し、$L$-作用素と変形 $W$-代数の自由場実現を実現することは可能か？
• RQ5 $A_l^{(1)}$ および $D_l^{(1)}$ に対して、$U_{q,p}(\ -\widehat{\mathfrak{g}})$ のレベル1楕円的カレント $e_j(z)$ と $f_j(z)$ が、変形 $W$-代数のスクリーニングカレントと一致するかどうか、予想通りであるか確認できるか？

主な発見

• 楕円的代数 $U_{q,p}(\ -\widehat{\mathfrak{g}})$ は、$\mathbb{C}[[p]]$ 上の位相的代数として厳密に定義され、従来の構成を一般化し、$p$-adic変形のための一貫した枠組みを提供する。
• $\mathbb{C}[[q^{2k}]]$ 上の位相的代数として、量子ダイナミカル $Z$-代数 $\mathcal{Z}_k$ が構成され、無限次元の $U_{q,p}(\ -\widehat{\mathfrak{g}})$-加群の既約性を支配する。これは、古典的 $Z$-代数理論を楕円的設定へ拡張するものである。
• $\mathfrak{g} = A_l^{(1)}$ および $D_l^{(1)}$ の場合、$U_{q,p}(\ -\widehat{\mathfrak{g}})$ のレベル1楕円的カレント $e_j(z)$ と $f_j(z)$ が、レベル $(r-g-1,1)$ のコセット $\widehat{\mathfrak{g}} \oplus \widehat{\mathfrak{g}} \supset (\widehat{\mathfrak{g}})_{\text{diag}}$ から得られる変形 $W$-代数のスクリーニングカレントと正確に一致し、[1,2] における予想が確認された。
• $A_l^{(1)}$、$B_l^{(1)}$、$D_l^{(1)}$ の場合、レベル1の $U_{q,p}(\ -\widehat{\mathfrak{g}})$-加群は、コセット型の $W$-代数の直和に分解され、表現論的背後にある深い代数的構造を示している。
• $U_{q,p}(B_l^{(1)})$ のレベル1楕円的カレントが提供するスクリーニング作用素の可換子として、Fateev-Lukyanovの $WB_l$-代数の変形が存在することが示唆され、新たな種類の変形 $W$-代数が存在することを示唆する。
• 基本的重み型 $A^j_m$ と正規直交基底型 $\mathcal{E}^{\pm j}_m$ の新しい種類の楕円的ボソンが明示的に構成され、$L$-作用素と変形 $W$-代数の自由場実現を実現するために不可欠であることが示され、従来の構成を拡張する。