[論文レビュー] Elliptic analog of the Toda lattice

I. M. Krichever|ArXiv.org|Sep 30, 1999

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、楕円的ポテンシャルを有するN粒子ハミルトニアン系について、作用角変数を構成し、リーマン・シータ関数を用いて明示的に解を求める。この系は、2次元Toda格子の楕円的類似であり、スペクトル曲線が次数Nの楕円関数を含む2次方程式で定義される、2次元Toda格子の楕円的解の極の運動を記述する。

ABSTRACT

The action-angle variables for N-particle Hamiltonian system with the Hamiltonian $H=\sum_{n=0}^{N-1} \ln sh^{-2}(p_n/2)+\ln(\wp(x_n-x_{n+1})- \wp(x_n+x_{n+1})), x_N=x_0,$ are constructed, and the system is solved in terms of the Riemann $θ$-functions. It is shown that this system describes pole dynamics of the elliptic solutions of 2D Toda lattice corresponding to spectral curves defined by the equation $w^2-P_{N}^{el}(z)w+Λ^{2N}=0$, where $P_{N}^{el}(z)$ is an elliptic function with pole of order N at the point z=0.

研究の動機と目的

• 楕円的相互作用ポテンシャルを有する古典的N体系の作用角変数を構成すること。
• リーマン・シータ関数を用いてこの系を明示的に解くこと。
• この系がToda格子の楕円的類似であることを特定すること。
• この系を2次元Toda格子の楕円的解の極の運動に関連付けること。
• 極の位数Nを持つ楕円関数を含む方程式によって特徴づけられる、基礎となるスペクトル曲線を同定すること。

提案手法

• ハミルトニアンは $ H = \sum_{n=0}^{N-1} \ln \text{sh}^{-2}(p_n/2) + \ln(\wp(x_n - x_{n+1}) - \wp(x_n + x_{n+1})) $ で定義され、周期的境界条件 $ x_N = x_0 $ を満たす。
• スペクトル曲線上の代数幾何的技法を用いて作用角変数を構成する。
• スペクトル曲線は $ w^2 - P_N^{\text{el}}(z)w + \Lambda^{2N} = 0 $ で定義され、ここで $ P_N^{\text{el}}(z) $ は z=0 に位数Nの極をもつ楕円関数である。
• 解は、関連するスペクトル曲線に付随するリーマン・シータ関数を用いて表現される。
• この系が2次元Toda格子の楕円的解の極の運動を記述することを示した。
• この構成は、種数Nのコンpakトなリーマン面における代数的曲線およびシータ関数の理論に依拠している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円的相互作用を有する古典的N体系に対して、作用角変数をどのように構成できるか。
• RQ2 この系の明示的解は、特殊関数を用いてどのように表現できるか。
• RQ3 この系は2次元Toda格子およびその楕円的解とどのように関係しているか。
• RQ4 動的を支配するスペクトル曲線の構造はどのようなものか。
• RQ5 極の位数Nを持つ楕円関数 $ P_N^{\text{el}}(z) $ はこの系においてどのような役割を果たすか。

主な発見

• この系は完全可積分であり、リーマン・シータ関数を用いて明示的に解かれた。
• スペクトル曲線は $ w^2 - P_N^{\text{el}}(z)w + \Lambda^{2N} = 0 $ で与えられ、ここで $ P_N^{\text{el}}(z) $ は z=0 に位数Nの極をもつ楕円関数である。
• 運動は、2次元Toda格子の楕円的解の極の運動に対応する。
• 作用角変数は、関連するリーマン面における代数幾何的技法を用いて構成された。
• 解は、種数Nの曲線に付随するシータ関数を用いて表現された。
• この系は、古典的Toda格子の楕円的類似を提供し、その可積分性を楕円関数へと拡張する。