[論文レビュー] Elliptic and parabolic equations with measurable coefficients in weighted Sobolev spaces

Hongjie Dong, Doyoon Kim|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、1つの空間変数および時間に関して可測であり、他の変数に関しては小さいBMO半ノルムを有する2階楕円型および放物型方程式について、解の存在、一意性、重み付きソボレフノルムの推定を確立する。低次の項が境界付近で発散することを許容し、データ空間を拡大することで、一般の重みを用いた重み付きソボレフ空間における最適な正則性結果を達成し、より広い係数クラスへの可解性理論の拡張を実現する。

ABSTRACT

We consider both divergence and non-divergence parabolic equations on a half space in weighted Sobolev spaces. All the leading coefficients are assumed to be only measurable in the time and one spatial variable except one coefficient, which is assumed to be only measurable either in the time or the spatial variable. As functions of the other variables the coefficients have small bounded mean oscillation (BMO) semi-norms. The lower-order coefficients are allowed to blow up near the boundary with a certain optimal growth condition. As a corollary, we also obtain the corresponding results for elliptic equations.

研究の動機と目的

• 重み付きソボレフ空間における楕円型および放物型方程式の可解性理論を、1つの空間変数および時間に関して可測であり、他の変数に関しては小さいBMO半ノルムを有する係数へと拡張すること。
• 無限遠での減衰を要求せず、境界付近での発散を許容する最適な成長条件のもとで、低次の係数が境界付近で発散することを可能とすること。
• 発散型形式の偏微分方程式におけるデータ空間（右辺）を、以前の結果を上回る範囲に拡大すること。特に $ \lambda > 0 $ のとき $ f \in \mathbb{L}_{p,\theta} $ を含むこと。
• 非発散型および発散型両形式に対して、重み付きソボレフ空間 $ H_{p,\theta}^\gamma $ および $ \mathbb{H}_{p,\theta}^\gamma $ における事前推定および一意的可解性を確立すること。

提案手法

• Krylovによって導入された測度 $ x_1^{\theta - d} dx $ を用いた重み付きソボレフ空間 $ H_{p,\theta}^\gamma $ および $ \mathbb{H}_{p,\theta}^\gamma $ を用いて、境界挙動および特異係数を扱う。
• 局所化およびカットオフ関数 $ \eta_k $ を用いた連続性の方法と事前推定の適応、最大関数推定および平行移動不変性の組み合わせ。
• 振動の小さな条件を課える重要な補題（補題6.7）を応用し、重み付き $ L_p $-ノルムにおいて勾配項および低次の項を制御する。
• 右辺を $ D_i g_i + f $ に分解し、$ f \in \mathbb{L}_{p,\theta} $ とし、埋め込み $ M^{-1}\mathbb{H}_{p,\theta}^{-1} \subset \mathbb{L}_{p,\theta} $ を用いてより大きな関数空間におけるデータを扱う。
• パラメータ $ \varepsilon $ を用いて、$ \varepsilon^{1/\beta'q} $ の小ささにより勾配項の大きさを制御し、事前推定の収束を保証する。
• 最終的な推定を導くために、$ \varepsilon_2 $ および $ \varepsilon $ を十分に小さく選び、$ N_0\varepsilon_2 \leq 1/3 $ および $ N_1\varepsilon^{1/\beta'q} < 1/3 $ となるように設定し、望ましい有界性を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 放物型および楕円型方程式の可解性理論を、1つの空間変数および時間に関して可測であり、他の変数に関しては小さいBMO半ノルムを有する係数へと拡張することは可能か？
• RQ2 境界付近での発散を許容する際、重み付きソボレフ空間における一意的可解性を保つために必要な最適な成長条件は何か？
• RQ3 発散型方程式におけるデータ空間を $ M^{-1}\mathbb{H}_{p,\theta}^{-1} $ を超えて拡大し、$ \lambda > 0 $ のとき $ \mathbb{L}_{p,\theta} $ を含めることは可能か？ そして依然として可解性は保たれるか？
• RQ4 低次の係数が無限遠で減衰しなくても、重み付きソボレフ空間において事前推定および一意的可解性を達成することは可能か？

主な発見

• 本稿では、$ (t,x_1) $ に関して可測（ただし $ a^{11} $ は $ t $ もしくは $ x_1 $ に関して可測）であり、他の変数に関しては小さいBMO半ノルムを有する係数を有する非発散型および発散型方程式について、重み付きソボレフ空間 $ \mathbb{H}_{p,\theta}^\gamma $ および $ H_{p,\theta}^\gamma $ における事前推定を証明する。
• 主係数 $ a^{ij} $ は $ x_1 $ および $ t $ に関して可測であり、残りの変数に関しては小さいBMO半ノルムを有するが、これにより、従来の連続性やより高い正則性を要求する結果を拡張する。
• 低次の係数 $ b^i, \hat{b}^i, c $ は境界 $ x_1 = 0 $ 付近で発散してもよく、最適な成長を有する。無限遠での消失は必要としない。
• データ空間が拡大される：$ \lambda > 0 $ のとき $ f \in \mathbb{L}_{p,\theta} $ が許容され、これは $ M^{-1}\mathbb{H}_{p,\theta}^{-1} $ よりも大きな空間であるため、以前の結果を改善する。
• 事前推定 $ \sqrt{\lambda}\|u\|_{p,\theta} + \|M^{-1}u\|_{p,\theta} + \|Du\|_{p,\theta} \leq N_0(\|g\|_{p,\theta} + \lambda^{-1/2}\|f\|_{p,\theta}) + \text{小規模な項} $ は、$ \varepsilon $ および $ \varepsilon_2 $ の小ささにより確立され、一意的可解性に至る。
• 結果は楕円型方程式へと補題として拡張され、同じ係数仮定のもとで楕円型設定においても同様の可解性フレームワークが成り立つことが確認される。