[論文レビュー] Elliptic curves and class field theory

Barry Mazur, Karl Rubin|ArXiv.org|Apr 16, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、虚二次体上の楕円曲線と Iwasawa 理論、類体論を直交的 $\Lambda$-加群を通じて結びつけるフレームワークを提示し、$E$ の $p$ における反可換算の算術を整理するものである。主な結果は、適切な直交的 $\Lambda$-加群の存在が、二変数および反可換主予想、$\Lambda$-adic グロス・ザジエール予想、高さ予想を含む多数の中心的予想の真であることを示すことにある。

ABSTRACT

Suppose $E$ is an elliptic curve defined over $\Q$. At the 1983 ICM the first author formulated some conjectures that propose a close relationship between the explicit class field theory construction of certain abelian extensions of imaginary quadratic fields and an explicit construction that (conjecturally) produces almost all of the rational points on $E$ over those fields. Those conjectures are to a large extent settled by recent work of Vatsal and of Cornut, building on work of Kolyvagin and others. In this paper we describe a collection of interrelated conjectures still open regarding the variation of Mordell-Weil groups of $E$ over abelian extensions of imaginary quadratic fields, and suggest a possible algebraic framework to organize them.

研究の動機と目的

• 虚二次体のアーベル拡大上の楕円曲線の算術を Iwasawa 理論および類体論と統一すること。
• Mordell-Weil群の変動に関する未解決予想を整理するための、直交的 $\Lambda$-加群を通じた一貫した代数的フレームワークを構築すること。
• 反可換設定における解析的 $p$-adic $L$-関数、セレマー群、普遍ノルム加群の間の橋渡しをすること。
• ヒーガナー点と Iwasawa 加群の文脈において、$p$-adic 高さ対称形式と導来対称形式の関係を明確にすること。

提案手法

• Iwasawa 環 $\mathbf{Z}_p[[\mathbf{\Gamma}]]\otimes\mathbf{Q}_p$ 上の直交的 $\Lambda$-加群 $V$ を導入し、$\mathbf{\Gamma} \cong \mathbf{Z}_p^2$ とする。
• $V$ を、判別式が二変数 $p$-adic $L$-関数に一致し、双対セレマー群に同型であり、ヒーガナー点および高さ対称形式と整合するという三つの条件を満たすように定義し、$(E,K,p)$ の反可換算の算術を整理する。
• モジュール $M$ と $E/\mathbf{K}_\infty$ 上の $p$-主セレマー群 $\mathcal{S}_p(E/\mathbf{K}_\infty)$ の間の同型 $\varphi_V: M \xrightarrow{\sim} \mathcal{S}_p(E/\mathbf{K}_\infty)$ を用いて関係を確立する。
• 普遍ノルム加群 $\mathcal{U}$ と、有限拡大 $F$ に対する $V(F) \cong \mathcal{U}(F)$ を通じて $E(F)\otimes\mathbf{Q}_p$ との関係を定める。
• 導来対称形式 $V(F)\otimes V(F)^{(\tau)} \to \Gamma_{\mathrm{cycl}}\otimes\Lambda_{\mathrm{anti}}$ の上への性質を用い、高さ予想を $\Lambda$-adic グロス・ザジエール予想に結びつける。
• 特徴的イデアル $\mathrm{char}_{\Lambda_{\mathrm{anti}}}(M\otimes\Lambda_{\mathrm{anti}})_{\mathrm{tors}}$ とイデアル $J$ の関係を用い、反可換主予想を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 仮定のもとで、$(E,K,p)$ の反可換算の算術を整理する直交的 $\u039b$-加群 $V$ が存在するか？
• RQ2 有限拡大 $F$ に対して、$E(F)\otimes\mathbf{Q}_p$ 上の $p$-adic 高さ対称形式と $V(F)$ 上の $F$-導来対称形式の関係は何か？
• RQ3 このような加群 $V$ が存在するならば、$E$ の $p$ における二変数および反可換主予想が成り立つか？
• RQ4 $V$ の存在と $V(K_\infty^{\mathrm{anti}})$ 上の対称形式の上への性質から、$\u039b$-adic グロス・ザジエール予想および高さ予想は導けるか？
• RQ5 反可換 Iwasawa 理論におけるセレマー群、$L$-関数、普遍ノルムを統合する正確な代数的構造は何か？

主な発見

• 反可換算の算術を整理する直交的 $\u039b$-加群 $V$ の存在は、二変数主予想を示唆する。実際、$\mathrm{disc}(V) = \mathbf{L}$ が $\mathrm{char}_{\u039b}(M)$ を生成する。
• 同型 $\varphi_V$ とセレマー群の構造を用い、二変数主予想からサイクロトロピック主予想が導かれる。
• 誘導された対称形式 $V(K_\infty^{\mathrm{anti}})\otimes V(K_\infty^{\mathrm{anti}})^{(\tau)} \to \Gamma_{\mathrm{cycl}}\otimes\Lambda_{\mathrm{anti}}$ が上への性質を持つならば、高さ予想が成立し、これは予想 8 と同値である。
• $\u039b$-adic グロス・ザジエール予想および反可換主予想は、対称形式の上への性質と $H$ と $\mathcal{H}$ の整合性から、特徴的イデアルと加群論を用いて示される。
• $p$-adic $L$-関数 $\mathbf{L}$ の $\mathbf{I}_{K_\infty^{\mathrm{anti}}}/\mathbf{I}_{K_\infty^{\mathrm{anti}}}^2$ への像は、$\mathrm{char}(B)^2 \cdot \mathbf{I}_{K_\infty^{\mathrm{anti}}}/\mathbf{I}_{K_\infty^{\mathrm{anti}}}^2$ を生成し、解析的および算術的不変量を結びつける。
• $\mathbf{K}_\infty$ 内の $K$ のすべての有限拡大 $F$ に対して $V(F) \cong \mathcal{U}(F)$ が成り立つことにより、普遍ノルム加群は $p$-adic 実現として Mordell-Weil 群 $E(F)\otimes\mathbf{Q}_p$ を実現する。