[論文レビュー] Elliptic curves and Hilbert's tenth problem for algebraic function fields over real and p-adic fields

Laurent Moret-Bailly|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有理関数体上のMordell-Weil階数1のねじれ付き楕円曲線を用いて、Denefの手法を拡張することで、実およびp進体上の関数体におけるディオファントス的不決定性を確立する。半局所的環およびこれらの設定下での関数体において、ヒルベルトの10番目の問題が不決定的であることを示し、幾何的構成と付値論的議論を用いて、関係する環内にZのディオファントス的コピーを定義する。

ABSTRACT

Let k be a field of characteristic zero, V a smooth, positive-dimensional, quasiprojective variety over k, and D a nonempty effective divisor on V. Let K be the function field of V, and A the semilocal ring of D in K. In this paper, we prove the Diophantine undecidability of: (1) A, in all cases; (2) K, when k is (formally) real and V has a real point; (3) K, when k is a subfield of a p-adic field, for some odd prime p. To achieve this, we use Denef's method: from an elliptic curve E over Q, without complex multiplication, one constructs a quadratic twist E' of E over Q(t), which has Mordell-Weil rank one. Most of the paper is devoted to proving (using a theorem of R. Noot) that one can choose f in K, vanishing at D, such that the group E'(K) deduced from the field extension K/Q(f)=Q(t) is equal to E'(Q(t)). Then we mimic the arguments of Denef (for the real case) and of Kim and Roush (for the p-adic case).

研究の動機と目的

• 実およびp進体上の関数体の存在的理論の不決定性を確立し、既知の結果をより広い体のクラスに拡張すること。
• 実またはp進体上の関数体における整数環がディオファントス的定義不能であることを証明し、その結果、ディオファントス方程式の可解性を決定するアルゴリズムが存在しないことを示すこと。
• 元来実関数体に対して用いられたDenefの手法を、p進設定に拡張すること。これは、有理関数体上で階数1の2次ねじれ付き楕円曲線を用いる。
• 付値論およびp進体上での二次形式の非退化性を活用して、関数体のディオファントス的部分集合をZと同型な環構造として構成すること。
• 滑らかで準射的代数的多様体上の除数における半局所的環が、正の存在的理論に関して不決定的であることを示すこと。

提案手法

• 有理関数体Q(t)上の有理楕円曲線Eの2次ねじれ付き曲線Ẽを、点Qに消失する有理関数fを用いて関数体K上に定義する。このとき、ẼのMordell-Weil群がQ(t)上と同型となるように、階数1の構造を保つ。
• R. Nootの定理を用いて、Ẽ(K)がẼ(Q(t))と同型であることを保証し、関数体上でも階数1の構造を維持する。
• 明示的な多項式方程式と付値条件を用いて、K²内のディオファントス的部分集合Λを定義し、Zと同型な環構造を付与する。
• 付値論的技法を適用：v₀およびv∞付値に基づき、Q(f)の部分集合Y₀, Y₁を定義し、二次形式の非退化性を用いてY₁がYに対して相対的にディオファントス的であることを証明する。
• パラメータc₃, c₅ ∈ C（Qₚに密なディオファントス的集合）に依存する二次形式φ₀およびφ₁がK上で非退化であることを用いて、乗法をディオファントス的条件により定義する。
• KimおよびRoushの非退化性およびノイマン多角形条件の結果を活用し、r ∈ Y₁のとき両形式が非退化であり、r ∈ Y₀のとき少なくとも1つは非非退化であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Denefの手法が実関数体上で不決定性を示すのを拡張して、p進関数体に対しても適用可能か？
• RQ2 関数体上でのねじれ付き楕円曲線のMordell-Weil群が、基本的な有理関数体上でのそれと同型となる条件は何か？
• RQ3 実またはp進体上の関数体に、Zと同型な環構造を持つディオファントス的部分集合が存在するか？
• RQ4 このようなディオファントス的部分集合の環構造は、環の言語における存在的論理式のみを用いて定義可能か？
• RQ5 非代数閉体上の関数体の算術を定義するにあたり、付値条件および二次形式の非退化性は果たす役割は何か？

主な発見

• 特異点を持たない除数Qを持つ滑らかで準射的代数的多様体V上の体k（標数0）上の半局所的環Aの正の存在的理論は不決定的である。
• 形式的に実な体k上の曲線の関数体Kに対して、正の存在的理論は不決定的であり、これはDenefの結果を非有理関数体に拡張する。
• kが奇素数pについてQₚの有限次拡大の部分体であるとき、Kの正の存在的理論は不決定的であり、p進の場合を完全に完成させる。
• 有理関数体上のねじれ付き楕円曲線と付値論的条件を用いて、K²内のディオファントス的部分集合Λを構成し、Zと同型な環構造を付与する。
• Λにおける乗法は、K上で二次形式φ₀およびφ₁の非退化性に依存するが、これはノイマン多角形条件およびパラメータのp進的密度によって保証される。
• 構成は有効的であり、必要なディオファントス的集合が有理関数および付値条件を用いて明示的に定義可能であるが、すべての状況で完全な有効性は保証されない。