[論文レビュー] Elliptic curves with 3-adic Galois representation surjective mod 3 but not mod 9

Noam D. Elkies|ArXiv.org|Dec 23, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、3進ガロア表現が3を法として全射であるが9を法として全射でないような、Q 上の楕円曲線をパラメトライズする、Q 上の genus-0 モジュラー曲線 $\mathscr{X}_9$ を構成する。27次有理関数 $f(x)$ を用いて、このような曲線が無限に存在することを示し、$1944 = 2^3 3^5$ の導手を持つ明示例 $Y^2 = X^3 - 27X - 42$ も含む。また、この構成から得られる非ゼロの整数 $j$-不変量はすべて完全に列挙されていることを証明する。

ABSTRACT

Let E be an elliptic curve over Q, and rho_l: Gal(Q) --> GL_2(Z_l) its l-adic Galois representation. Serre observed that for l>3 there is no proper closed subgroup of SL_2(Z_l) that maps surjectively onto SL_2(Z/lZ), and concluded that if rho_l is surjective mod l then it is surjective onto GL_2(Z_l). We show that this no longer holds for l=3 by describing a modular curve X of genus 0 parametrizing elliptic curves for which rho_3 is not surjective mod 9 but generically surjective mod 3. The curve X is defined over Q, and the modular cover X --> X(1) has degree 27 so X is rational. We exhibit an explicit rational function of degree 27 that realizes this cover, and use it to exhibit several elliptic curves with nonzero j-invariant that satisfy this condition on rho_3, of which the simplest are the curves Y^2 = X^3 - 27X - 42 and Y^2 + Y = X^3 - 135X - 604 of conductors 1944 = 2^3 3^5 and 6075 = 3^5 5^2 respectively.

研究の動機と目的

• 3進ガロア表現が3を法として全射だが9を法として全射でない可能性について、セールの暗黙の問いを解明すること。
• このような楕円曲線をパラメトライズする、Q 上のモジュラー曲線 $\mathscr{X}_9$ を構成すること。
• 27次有理関数 $f(x)$ が $\mathscr{X}_9 \to X(1)$ の被覆を実現する明示的計算を行うこと。
• 3を法として全射だが9を法として全射でないような楕円曲線のすべての非ゼロ整数 $j$-不変量を特定すること。
• 最小導手を持つようなこのような楕円曲線の明示例を提供すること。

提案手法

• 3を法として $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ に同型に写るような、$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})$ の部分群 $G$ を構成し、$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}_3)$ 内でのその逆像が真の閉部分群であることを示す。
• $\mathscr{X}_9 = X(9)/G$ を定義し、$X(9)$ の商として得られる。被覆の奇数次 $27$ とリーマン・ホイッツの公式を用いて、$\mathbb{Q}$ 上で有理型であることを証明する。
• シーゲル関数の積を用いて $X(9)$ 上のモジュラー単数を構成し、$\overline{\mathbb{Q}}$ 上の分数線形変換を施して、$\mathbb{Q}$ 上で定義された有理関数 $x$ に降下させる。
• $\mathscr{X}_9$ のアフィンモデルを $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上の双次数 $(3,4)$ の曲線として得る。また、尖点形式の $q$-展開を用いて正則微分形式の基底を計算する。
• CM モジュラー形式を統合して、$X(1)$ から $\mathscr{X}_9$ への $j$-不変量の引き戻しを実現する有理関数 $f(x)$ を得る。その次数が 27 であることを確認する。
• $f(x)$ の分子と分母の結果式を用いて、$f(x) \in \mathbb{Z}$ となるのは分母が 3 のべきである場合に限ることを示し、Thue 方程式の解析に帰着させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Q 上の楕円曲線で、3進ガロア表現が3を法として全射だが9を法として全射でないものが存在しうるか？
• RQ2 このような曲線をパラメトライズするモジュラー曲線 $\mathscr{X}_9$ は、Q 上で有理型か？
• RQ3 27次有理関数 $f(x)$ で、これらの曲線の $j$-不変量をパラメトライズするものはあるか？
• RQ4 $\mathscr{X}_9$ の有理点のうち、整数 $j$-不変量を与えるものは何か、それらは何か？
• RQ5 このような整数 $j$-不変量は有限個に限られ、完全に分類可能か？

主な発見

• モジュラー曲線 $\mathscr{X}_9$ は Q 上で有理型であり、$\mathscr{X}_9 \to X(1)$ の被覆次数は 27 である。また、$\mathscr{X}_9$ 上に、目的の楕円曲線の $j$-不変量をパラメトライズする 27 次有理関数 $f(x)$ が存在する。
• すべての $x \in \mathbb{P}^1(\mathbb{Q})$ で $f(x) = 0$ でない限り、$j$-不変量が $f(x)$ である楕円曲線は、$\rho_3$ が 3 を法として全射だが 9 を法として全射でない。
• 非ゼロの整数値 $f(x)$ は、$x = 1/0, -2, 0, -1/2, 2, -3/2, -1/3$ のときのみ取り、それぞれ $j$-不変量 $4374, 419904, -44789760, 15786448344, 24992518538304, -92515041526500, -70043919611288518656$ を与える。
• 構成された曲線の中で最小の導手は $1944 = 2^3 3^5$ であり、$Y^2 = X^3 - 27X - 42$ で実現される。導手 $6075 = 3^5 5^2$ のもう一つの曲線は $Y^2 + Y = X^3 - 135X - 604$ で与えられる。
• 関数 $f(x)$ から得られるすべての非ゼロ整数 $j$-不変量は完全に分類されている：ちょうど 7 つの値が存在し、$m^3 - 3mn^2 - n^3 = \pm 1$ および $\pm 3$ の Thue 方程式を解くことで得られ、その解は上記の $x$-値に対応する。
• この構成により、セールの開像定理の $l=3$ の類似が失敗しうることを確認し、このような $j$-不変量の完全かつ有効な分類が得られた。