[論文レビュー] Elliptic differential equations with measurable coefficients

Doyoon Kim, Н. В. Крылов|ArXiv.org|Dec 22, 2005

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、主係数が1つの変数に関して可測で、残りの変数に関して平均振動がゼロ（VMO）であるという条件下で、Sobolev空間 $W^2_p$（$p \in (2,\infty)$）における非発散型2階楕円型方程式の解の存在と一意性を確立する。主な貢献は、鋭い関数（sharp function）技術を用いた新しい $L_p$-推定であり、これにより関連するマルティングール問題における弱い一意性が示される。

ABSTRACT

We prove the unique solvability of second order elliptic equations in non-divergence form in Sobolev spaces. The coefficients of the second order terms are measurable in one variable and VMO in other variables. From this result, we obtain the weak uniqueness of the martingale problem associated with the elliptic equations.

研究の動機と目的

• 非発散型2階楕円型方程式が $p > 2$ に対してSobolev空間 $W^2_p$ において一意的可解であることを確立すること。
• 係数 $a^{jk}$ の正則性仮定を緩和し、1つの変数に関して可測で、残りの変数に関してはVMOであることを許容すること。
• 一様連続または区分的連続係数にとどまらない、非発散型方程式の $L_p$-理論を拡張すること。
• 可解性結果を用いて、関連する楕円型作用素と関連するマルティングール問題の弱い一意性を証明すること。
• 積分表現や交換子を避ける方法として、鋭い関数推定に依存する $L_p$-推定の手法を開発すること。

提案手法

• 1つの変数に関して可測な係数をもつ方程式に対して、フーリエ変換を用いて $L_2$-推定を導出すること。
• クリロフが提唱した鋭い関数技術を応用し、$p > 2$ に対して $L_p$-推定を導出する。交換子法を避ける。
• 変数 $x'$ におけるVMO正則性を定量化するための振動半ノルム $\text{osc}_{x'}(a, Q_r(x))$ を導入すること。
• 係数のVMOクラスを $a^{\#(x')}_{R} \to 0$（$R \to 0$ のとき）として定義し、$\omega(0) = 0$ を満たす連続性モジュラス $\omega(R)$ を用いる。
• フェッファーマン＝シュタイン最大関数定理とホルダーの不等式を用いて、2階微分の $L_p$-ノルムを制御すること。
• 関数 $u_{x^j x^k}$ の鋭い関数に関連する重要な不等式を確立し、$a^{\#(x')}_{R}$ が十分に小さいとき、小さな球において $\|u_{xx}\|_{L_p} \leq N\|L_0 u\|_{L_p}$ の推定が得られることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数が1つの変数に関して可測で、残りの変数に関してVMOである場合に、$W^2_p$ における楕円型方程式の解の存在と一意性を確立できるか？
• RQ2 一様連続性を越えて、限られた正則性をもつ係数に対しても、非発散型方程式の $L_p$-理論が成立するか？
• RQ3 交換子や積分表現に依存せずに、不連続係数をもつ方程式に鋭い関数法を効果的に適用できるか？
• RQ4 どのような係数の条件が、関連する拡散過程の弱い一意性を保証するか？
• RQ5 係数が1方向でのみ可測で、他の変数に関してはVMOであるとき、VMO条件が $L_p$-理論にどのように作用するか？

主な発見

• 仮定2.1および2.2の下で、方程式 (1.1) はすべての $p \in (2,\infty)$ に対して $W^2_p(\mathbb{R}^d)$ において一意解をもつ。
• $a^{\#(x')}_{R}$ が十分に小さいとき、小さな球において $p > 2$ に対して $\|u_{xx}\|_{L_p} \leq N\|L_0 u\|_{L_p}$ の $L_p$-推定が成り立つ。
• 推定における定数 $N$ は、$d$、$\delta$、$p$ のみに依存し、係数の詳細には依存しない（VMOおよび強楕円性の性質を除く）。
• $p \geq d$ のとき、$W^2_p$ における一意的可解性は、関連する楕円型作用素と関連するマルティングール問題の弱い一意性を示唆する。
• 本手法は積分表現や交換子を避けており、代わりに鋭い関数および最大関数の点ごとの推定に依存する。
• 結果は、区分的連続係数やVMO係数を特別な場合として含み、既知の理論をより広い不連続係数のクラスへと拡張する。