[論文レビュー] Elliptic Ding-Iohara Algebra and Commutative Families of the Elliptic Macdonald Operator

Yosuke Saito|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、楕円型Ding-Iohara代数および楕円型Feigin-Odesskii代数を用いて、楕円型Macdonald作用素を含む可換な作用素族を構成する。楕円型Macdonald作用素の核関数を介した自由場実現を確立することで、楕円型量子群（楕円型Ding-Iohara代数）を定義し、その結果得られる作用素族が可換であることを証明する。これは、Feiginたちはの三角関数的構成を楕円的設定に拡張するものである。

ABSTRACT

The elliptic Ding-Iohara algebra is an elliptic quantum group obtained from the free field realization of the elliptic Macdonald operator. In this article, we show the construction of two families of commuting operators which contain the elliptic Macdonald operator by using the elliptic Ding-Iohara algebra and the elliptic Feigin-Odesskii algebra.

研究の動機と目的

• 三角関数的構成における可換作用素族（Macdonald作用素を含む）を楕円的設定に拡張すること。
• 核関数を用いた楕円型Macdonald作用素の自由場実現における未解決問題を解消すること。
• 自由場実現から生じる楕円型量子群としての楕円型Ding-Iohara代数を定義し、その性質を調べること。
• 楕円型Ding-Iohara代数および楕円型Feigin-Odesskii代数を用いて、楕円型Macdonald作用素を含む2つの可換作用素族を構成すること。
• 三角関数的状況の一般化として、楕円的設定におけるこれらの作用素族の可換性を証明すること。

提案手法

• 本稿は、楕円型Macdonald作用素の核関数を用いて、その自由場実現を導出する。
• 構造関数にテータ関数および楕円型ガンマ関数を含む、三角関数的Ding-Iohara代数の変形として楕円型Ding-Iohara代数を導入する。
• 同様の核関数に基づくアプローチを用いて、三角関数的バージョンの楕円型類似物として楕円型Feigin-Odesskii代数を定義する。
• スクリーニングカレントと構造関数の積の定数項射影を通じて、可換作用素族を構成する。
• 作用素の積の交換関係の恒等式と、$p$-変形における関数的部の周期性を用いて、可換性を証明する。
• 鍵となるステップは、構造関数に現れる$p$-差分およびデルタ関数項の分析を通じて、定数項が消えることを示すことである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円型Macdonald作用素は、その核関数を用いた自由場構成によって実現可能か？
• RQ2 三角関数的Ding-Iohara代数およびFeigin-Odesskii代数は、どのように楕円的状況に拡張できるか？
• RQ3 楕円型Ding-Iohara代数の構造は何か？また、楕円型Macdonald作用素とはどのように関係しているか？
• RQ4 楕円型Macdonald作用素を含む2つの作用素族は可換か？もし可換であるなら、どのような条件下で成立するか？
• RQ5 テータ関数$\Theta_p(x)$および楕円型ガンマ関数$\Gamma_{q,p}(x)$は、構成された作用素族の可換性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 楕円型Macdonald作用素の自由場実現を介して、楕円型Ding-Iohara代数が楕円型量子群として明確に定義された。
• 構成におけるスクリーニングカレントの関数的部が$p$-周期的であることが示され、定数項射影における一貫性が保証された。
• $\mathcal{M}(p)$および$\mathcal{M}'(p)$の2つの作用素族の交換関係が、定数項射影における$p$-差分項のキャンセルにより消えることが分かった。
• 交換関係式の定数項が恒等的に消えることから、すべての$r,s \in \mathbf{Z}_{>0}$に対して$[\mathcal{O}_p(\varepsilon_r(q,p;z)), \mathcal{O}'_p(\varepsilon_s(q,p;w))] = 0$が成り立つことが証明された。
• 結果として得られる作用素族$\mathcal{M}(p)$および$\mathcal{M}'(p)$は、Fock空間$\mathbf{C}\phi_N(p;x)|N\rangle$上で可換であることが証明され、三角関数的状況の一般化が達成された。