[論文レビュー] Elliptic Divisibility Sequences Associated to Elliptic Curves with Torsion Points

Betül Gezer, Osman Bızım|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2011

Advanced Mathematical Identities参考文献 2被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、ねじれ点を持つ楕円曲線上の零項をもつ楕円除法列挙（EDS）の一般項および周期の明示的公式を、Tate正規形とMazurの定理を用いて導出する。この手法により、このような列における平方数または立方数となる項を正確に同定し、曲線のパラメータに基づく完全な特徴付けを与える。

ABSTRACT

Elliptic divisibility sequences (EDSs) are generalizations of a class of integer divisibility sequences called Lucas sequences. There has been much interest in cases where the terms of Lucas sequences are squares or cubes. In this work, using the Tate normal form having one parameter of elliptic curves with torsion points, the general terms and periods of all elliptic divisibility sequences with a zero term are given in terms of this parameter by means of Mazur's theorem, and it is shown that which term of h_{n} of an EDS can be a square or a cube by using the general terms of these sequences.

研究の動機と目的

• ねじれ点をもつ楕円曲線上の零項をもつ楕円除法列挙（EDS）を特徴付けること。
• Tate正規形を用いて、単一のパラメータでそのようなEDSの一般項および周期を表現すること。
• 列 h_n のどの項が平方数または立方数であるかを同定すること。
• ねじれ部分群に関するMazurの定理を応用し、零項をもつEDSの構造を制限・分類すること。

提案手法

• 単一のパラメータを用いたTate正規形によるねじれ点をもつ楕円曲線のパラメータ化。
• Mazurの定理を用いて可能なねじれ部分群を分類し、パラメータ空間を制限する。
• 曲線のパラメータで表されるEDSの一般項 h_n の閉形式表現を導出する。
• 導出された一般項に基づいてEDS列の周期を計算する。
• h_n が平方数または立方数となるディオファントス的条件を分析する。
• 数論的技法を用いて、h_n が平方数または立方数となる正確な n の値を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 零項をもつEDSにおける項 h_n が平方数となるのはどの n の値のときか？
• RQ2 零項をもつEDSにおける項 h_n が立方数となるのはどの n の値のときか？
• RQ3 このようなEDSの一般項および周期は、Tate正規形のパラメータにどのように依存するか？
• RQ4 Mazurの定理およびねじれ点の存在が、零項をもつEDSの構造にどのような制約を課えるか？
• RQ5 すべての零項をもつねじれ点をもつEDSは、このパラメータ化によって完全に分類可能か？

主な発見

• 零項をもつEDSの一般項 h_n は、楕円曲線のTate正規形におけるパラメータで明示的に表現される。
• このようなEDSの周期は、パラメータおよびMazurの定理によって制限されるねじれ部分群の構造に依存する。
• 平方数または立方数となる項 h_n は有限個であり、そのインデックス n はパラメータによって完全に特徴付けられる。
• Tate正規形におけるパラメータは、列の成長および周期性を一意に決定する。
• h_n が平方数または立方数となる条件は、列の閉形式表現に関連するディオファントス方程式から導出される。
• 零項およびねじれ点をもつEDSの分類は、Tate正規形における単一のパラメータによって完全かつパラメータ化可能である。