[論文レビュー] Elliptic equations involving general subcritical source nonlinearity and measures

Huyuan Chen, Patricio Felmer+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 16被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、一般の臨界的でない非線形項と測度データを含む分数階楕円型方程式に対して、Marcinkiewicz空間における新しい不動点アプローチを用いて、弱い非負解の存在を確立する。非線形項の積分的臨界的でない条件と測度パラメータの小ささに関する仮定の下で、凸性や単調性の制限を超えて既存の結果を拡張する。

ABSTRACT

In this article, we study the existence of positive solutions to elliptic equation (E1) $$(-Δ)^αu=g(u)+σν\quad{ m in}\quad Ω,$$ subject to the condition (E2) $$u=\varrhoμ\quad { m on}\quad \partialΩ \ { m if}\ α=1\qquad { m or\ \ in}\ \ Ω^c \ \ { m if}\ α\in(0,1),$$ where $σ,\varrho\ge0$, $Ω$ is an open bounded $C^2$ domain in $\mathbb{R}^N$, $(-Δ)^α$ denotes the fractional Laplacian with $α\in(0,1)$ or Laplacian operator if $α=1$, $ν,μ$ are suitable Radon measures and $g:\mathbb{R}_+\mapsto\mathbb{R}_+$ is a continuous function. We introduce an approach to obtain weak solutions for problem (E1)-(E2) when $g$ is integral subcritical and $σ,\varrho\ge0$ small enough.

研究の動機と目的

• 一般の臨界的でない源非線形項と測度データを有する半線形分数階楕円型方程式に対する弱い非負解の存在を確立すること。
• 非線形項における凸性や単調性の制限を超えて、既存の存在結果を拡張すること。
• 一般で、凸でも単調増加でもない非線形項を取り扱うために、Marcinkiewicz空間における新しい不動点枠組みを構築すること。
• 非線形項の積分的臨界的でない条件と測度パラメータの小ささに基づいて、解の存在閾値を特定すること。

提案手法

• 凸性や単調性を要件としない一般の臨界的でない非線形項を取り扱うために、Marcinkiewicz空間における新しい不動点論法を導入する。
• Green作用素 $ \mathbb{G}_{\alpha} $ とポisson核表現を用いて、解を測度データと非線形項の観点から特徴付ける。
• 重み付きMarcinkiewicz空間 $ M^{p^*_{\beta}}(\Omega, \rho^{\beta}dx) $ においてSchauderの不動点定理を適用し、コンパクト性と収束性を保証する。
• 非線形項の積分的臨界的でない条件 $ \int_1^\infty g(s)s^{-1-p^*_{\beta}}ds < \infty $ を用いて、解列の一様有界性を確立する。ここで $ p^*_{\beta} = \frac{N+\beta}{N-2\alpha+\beta} $ である。
• 滑らかな関数による測度の近似を行い、極限に移行することで、分布的意味での弱解を定義する。
• 双対性を用いて弱解を定義する：テスト関数 $ \xi \in \mathbb{X}_\alpha $ に対して $ \int_\Omega u(-\Delta)^\alpha \xi \, dx = \int_\Omega g(u)\xi \, dx + \sigma \int_\Omega \xi \, d\nu $。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形項 $ g $ と測度データ $ \sigma\nu $ がどのような条件下で、$ \Omega $ において分数階楕円型方程式 $ (-\Delta)^\alpha u = g(u) + \sigma\nu $ の弱解が存在するか。
• RQ2 凸性や単調性を要件としない一般の臨界的でない非線形項に対しても、解の存在を確立できるか。
• RQ3 解の存在を保証するための積分的臨界的でない条件 $ \int_1^\infty g(s)s^{-1-p^*_{\beta}}ds < \infty $ の役割は何か。
• RQ4 $ g(s) \leq c_3 s^{p_*} + \epsilon $ のとき、パrameter $ \sigma $ と $ \epsilon $ はどれほど小さくなければならないか、解の存在を保証するには。
• RQ5 非線形項が凸でも増加的でもない場合でも、Marcinkiewicz空間における不動点論法によって解を構成できるか。

主な発見

• 非線形項が $ g(s) \leq c_2 s^{p_0} + \epsilon $（$ p_0 \in (0,1] $）を満たすとき、任意の $ \sigma > 0 $、$ \epsilon > 0 $、および $ p_0 = 1 $ の場合に $ c_2 $ が十分に小さいとき、弱い非負解が存在し、$ u_\nu \geq \sigma \mathbb{G}_\alpha[\nu] $ を満たす。
• 非線形項が $ [0,1] $ 上で $ g(s) \leq c_3 s^{p_*} + \epsilon $ かつ $ \int_1^\infty g(s)s^{-1-p^*_{\beta}}ds < \infty $ を満たすとき、$ \sigma_0, \epsilon_0 > 0 $ が存在し、$ \sigma \in [0, \sigma_0) $ および $ \epsilon \in (0, \epsilon_0) $ のとき解が存在する。
• 解は $ u_\nu \geq \sigma \mathbb{G}_\alpha[\nu] $ を満たし、Greenのポテンシャルに基づく下界が保証される。
• 解の存在結果は $ \alpha \in (0,1] $、$ \Omega \subset \mathbb{R}^N $ を有界な $ C^2 $ 域、$ \nu \in \mathfrak{M}_+(\Omega, \rho^\beta) $ かつ $ \beta \in [0, \alpha] $ の場合に成立する。
• 本手法は $ g $ に対する凸性や単調性の仮定を回避し、代わりに積分的臨界的でない条件とMarcinkiewicz空間の推定に依存する。
• 解は $ M^{p^*_{\beta}}(\Omega, \rho^\beta dx) $ における不動点論法により構成され、近似パrameterに依存しない一様有界性を持つ。