[論文レビュー] Elliptic Equations Involving Meausres

Лаурент Верон|ArXiv.org|Oct 3, 2008

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 80被引用数 53

ひとこと要約

本稿は、ベッセル容量と双対性手法を用いて、ルベーグ測度を含む半線形楕円型方程式の可解性および境界トレース理論を確立する。存在および一意性の鋭い条件を提示し、消去可能でない特異点や孤立特異点を特徴づけ、特に臨界および亜臨界領域において、ケラー＝オッサーマ条件またはバリア条件を満たす非線形項を有する解のトレース理論を構築する。

ABSTRACT

We present the moste recent results dealing with the theory of semilinear elliptic equations with measures data

研究の動機と目的

• 2階楕円型方程式の可解性理論を関数からルベーグ測度へ拡張すること、特に非線形吸収項および源項の文脈において。
• 容量条件および双対性手法を用いて、測度データを有する半線形楕円型方程式の解の存在および一意性を特徴づけること。
• 非負解のための境界トレース理論を構築し、可積分性および上調和バリアを用いて境界点の正規および特異点を特定すること。
• 特異点（孤立またはコンパクト集合）が消去可能であるか、非可積分な発散を引き起こすかの条件を特定すること。
• 特に臨界および亜臨界領域において、べき乗型および指数型非線形項に対する鋭い可解条件を確立すること。

提案手法

• スタンパチアの双対性アプローチおよびベッセル容量の理論を用いて、測度データを有する方程式の可解性を分析する。
• グリーン関数およびポisson核の表現を用いて、解を領域および境界上の測度に関する積分として表現する。
• マルチンキエヴィッチ空間の枠組みおよびΔ₂条件を用いて、半線形吸収方程式に適する測度を特徴づける。
• 境界点における強力なバリア性質の概念を導入し、発散行動を制御し、正規点と特異点を分類する。
• ケラー＝オッサーマ法を用いて局所的上調和解を構成し、非線形項の強制性を検証する。
• 分区単位およびトレース極限を用いて、境界の正規部分における境界トレース汎関数を定義し、正のルベーグ測度と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度λおよび非線形項gに対して、領域Ωにおける半線形楕円型方程式Lu + g(x,u) = λが解を有するための条件は何か？
• RQ2 領域Ω\Kにおける方程式Lu + g(x,u) = 0の解に対して、コンパクトな特異集合K ⊂ Ωが消去可能であるとはどのような条件か？
• RQ3 非負解uに対する方程式Lu = g(x,u) in Ω、u = 0 on ∂Ωの境界トレースの明確な特徴づけは何か？
• RQ4 gの成長性、例えばΔ₂条件またはケラー＝オッサーマ仮定が、可解性およびトレース行動に与える影響は何か？
• RQ5 境界トレースが正のルベーグ測度として存在するのはどのような場合か、また特異境界点で無限大のトレースを示す場合に失敗するのはどのような場合か？

主な発見

• 領域Ωにおける半線形吸収問題Lu + g(x,u) = λ、境界条件u = 0 on ∂Ωに対して、gにやや強い成長性およびΔ₂条件が満たされれば、∫Ω g(x, ℙL|λ|) ρ∂Ω dx < ∞ が成り立てば解が存在する。
• g(x,r) = |r|^{q−1}r というべき乗非線形項に対して、すべての有界測度λに対して解が存在するのは 0 < q < n/(n−2) のときであり、q ≥ n/(n−2) のときは失敗する。
• gに関する測度λの特異部が、gと関連する次数のn次元ハウスドルフ測度に関してゼロのベッセル容量を持つ場合、問題は可解である。
• ケラー＝オッサーマ条件を満たす非線形項（例：f(r) に対して ∫θ∞ (∫0t f(s)ds)^{-1/2} dt < ∞）に対しては、解は明確に定義された境界トレースを有する。
• gが境界点aで強力なバリア性質を持つならば、aの任意の近傍Uに対して limt→0 ∫U∩Σt u dSt = ∞ が成り立ち、これは特異境界点を示唆する。
• 非負解uの境界トレースνは、 coercivityおよびバリア条件の下で、(𝒮(u), μ)に同値であり、𝒮(u)は特異集合、μは正のルベーグ測度である。