[論文レビュー] Elliptic Genera of Singular Varieties

Lev Borisov, Anatoly Libgober|ArXiv.org|Jul 17, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、特異的多様体のための特異的楕円的生成関数と、多様体上の群作用のための軌道楕円的生成関数という2つの新しい不変量を導入し、正規化係数を介してそれらの等価性を証明する。コボルディズム理論と特異点の解消を用いて、対称積におけるDijkgraaf-Moore-Verlinde-Verlindeの公式の数学的基盤を確立し、軌道楕円的生成関数の母関数を確立する。

ABSTRACT

Orbifold elliptic genus and elliptic genus of singular varieties are introduced and relation between them is studied. Elliptic genus of singular varieties is given in terms of a resolution of singularities and extends the elliptic genus of Calabi-Yau hypersurfaces in Fano Gorenstein toric varieties introduced earlier. Orbifold elliptic genus is given in terms of the fixed point sets of the action. We show that the generating function for this orbifold elliptic genus $\sum Ell_{orb}(X^n,Σ_n)p^n$ for symmetric groups $Σ_n$ acting on $n$-fold products coincides with the one proposed by Dijkgraaf, Moore, Verlinde and Verlinde. Two notions of elliptic genera are conjectured to coincide.

研究の動機と目的

• 複素多様体上の有限群作用に対して、軌道楕円的生成関数の数学的に厳密な定義を提示すること。
• 特異点の解消と正規化除数を用いて、Q-ゴレンシュタイン多様体のための特異的楕円的生成関数を導入すること。
• 商多様体に対して、軌道的および特異的楕円的生成関数の予想される等価性を確立すること。
• コボルディズム理論を用いて、軌道楕円的生成関数の母関数に対する位相的証明を提供すること。
• 楕円的生成関数の概念を特異的および軌道的設定に拡張し、トーリック多様体内のカルビ-ヤウ超曲面の一般化を達成すること。

提案手法

• 可換な群元の固定点集合と正規バンドルのチャーン類を用いて、軌道楕円的生成関数を定義する。
• 特異点の解消を用いて特異的楕円的生成関数を構成し、滑らかなモデル上の積分として表現し、正規化除数に由来する補正項を含む。
• [1] に従い、被約写像を滑らかな吹き上げと吹き下ろしの合成に分解して、特異点と解消の分析に用いる。
• コボルディズム理論を適用し、軌道楕円的生成関数が $G$-コボルディズムの不変量であり、零コボルディズム $G$-多様体上で消えることを示す。
• Bierstone-Milmanの解消の普遍性を活用して、商特異点の$G$-可換解消を構成する。
• コボルディズム理論とチャーン類の評価を用いて、対称積の軌道楕円的生成関数の母関数が、Dijkgraaf-Moore-Verlindeの公式と一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群作用が複素多様体に作用する場合、軌道楕円的生成関数を数学的にどのように定義できるか？
• RQ2 楕円的生成関数の正しい一般化は何か？ そして、それが解消データとどのように関係するか？
• RQ3 対称積 $X^n / Sigma_n$ の軌道楕円的生成関数は、Dijkgraaf らが提案した母関数と一致するか？
• RQ4 商多様体に対して、軌道的および特異的楕円的生成関数が一致する条件は何か？
• RQ5 コボルディズム理論を用いて、軌道楕円的生成関数の母関数の恒等式を証明できるか？

主な発見

• 軌道楕円的生成関数は、群元の共轭類ごとの和として定義され、固定点集合とその正規バンドルからの寄与が含まれる。
• 特異的楕円的生成関数は解消 $\pi: Y \to Z$ を用いて定義され、相対正規化除数 $K_Y - \pi^*K_Z$ に由来する補正項 $\alpha_k$ を含む。
• 母関数 $\sum_{n \geq 0} p^n \cdot \text{Ell}_{\text{orb}}(X^n / \Sigma_n; y, q)$ は、Dijkgraaf-Moore-Verlindeの公式と正確に一致する。
• 軌道楕円的生成関数は $G$-コボルディズムの不変量であり、零コボルディズム $G$-多様体上で消える。
• Kosniowskiの $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-コボルディズムの生成元を用いて、$G = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ の場合に、軌道的および特異的楕円的生成関数が（正規化係数を除き）一致するという予想が証明された。
• 普遍的特異点解消を用いた$G$-可換解消の構成により、商軌道多様体の各ストラトゥム間での整合性が保証される。