[論文レビュー] Elliptic genera, torus manifolds and multi-fans

Akio Hattori, Mikiya Masuda|ArXiv.org|Jul 3, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、多ファンおよびトーラス軌道多様体に対して不変楕円的指標および軌道多様体楕円的指標を導入し、特異的トーリック幾何を軌道多様体設定へ一般化する。アティヤ＝シンガーの不動点定理およびデュイステルマット＝ヘックマンの公式を用いて、第一チャーン類が $ N $ で割り切れるグローバル型の多ファンに対して、レベル $ N $ の楕円的指標が消えるという定理を証明する。これは、滑らかなトーリック多様体における剛性および消滅結果を軌道多様体へ拡張するものである。

ABSTRACT

The rigidity theorem of Witten-Bott-Taubes-Hirzebruch tells us that, if the circle group acts on a closed almost complex (or more generally unitary) manifold whose first Chern class is divisible by a positive integer N greater than 1, then its equivariant elliptic genus of level N is rigid. Applying this to a non-singular compact toric variety, we see that its elliptic genus of level N is rigid if its first Chern class is divisible by N. But, using a vanishing theorem of Hirzebruch, we can show moreover that the genus actually vanishes. In this note we shall extend this result to torus manifolds. In fact, a non-singular complete multi-fan is associated with a torus manifold, and rigidity and vanishing of elliptic genus of level N can be formulated and proved for non-singular complete multi-fans. Some applications on compact non-singular toric varieties with the first Chern class divisible by a large positive integer are given.

研究の動機と目的

• 多ファンおよびトーラス軌道多様体に対する不変楕円的指標および軌道多様体楕円的指標を定義し、トーリック幾何を軌道多様体設定へ拡張する。
• アティヤ＝シンガーの不動点定理およびデュイステルマット＝ヘックマン理論を用いて、これらの指標の文字公式を確立する。
• 第一チャーン類が $ N $ で割り切れるグローバル型の多ファンに対して、レベル $ N $ の楕円的指標が消えるという定理を証明する。
• 滑らかなトーリック多様体における剛性および消滅結果を、トーラス軌道多様体およびそれらに付随する多ファンへ一般化する。

提案手法

• 安定的にほぼ複素構造を持つ軌道多様体上のトーラス作用に対して、アティヤ＝シンガー型の不動点公式を用い、不変楕円的指標の文字公式を導出する。
• 多多面体上のデュイステルマット＝ヘックマン関数の乗法的公式を適用し、指標をトーラスの仮想的特徴として表現する。
• 多ファンと生成ベクトルのペアに対する第一チャーン類を定義し、消滅に関する数論的条件を可能にする。
• ヒルツェブルフおよびトーバースの剛性および消滅定理を、多ファン構造を通じて組合せ論的表現に翻訳する。
• 固定点データおよび同相群を用いて、$ ilde{ ho}^{v}(M) $ および $ ilde{ ho}^{v}(M) $ の明示的公式 (34)、(35)、(36) を導出する。
• 軌道多様体のチャートと固定点集合の成分との間の対応関係を確立し、指標を同相群および錐ごとの和として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不変楕円的指標は、どのようにトーラス軌道多様体およびそれらに付随する多ファンへ一般化できるか？
• RQ2 生成ベクトル付きの完全な単体的多ファンに対して、不変楕円的指標を支配する文字公式は何か？
• RQ3 グローバル型の多ファンに対して、レベル $ N $ の楕円的指標が消える組合せ論的条件は何か？
• RQ4 多ファンを通じて、楕円的指標の剛性は滑らかなトーリック多様体から軌道多様体設定へどのように拡張されるか？
• RQ5 多ファンの文脈において、消滅定理が $ T_y $-指標およびトッド指標に与える影響は何か？

主な発見

• トーラス軌道多様体 $ M $ の不変楕円的指標 $ ilde{ ho}^{v}(M) $ は、最大錐および同相群に関する和を含む文字公式として与えられ、式 (34) に示す。
• 軌道多様体楕円的指標 $ ilde{ ho}^{v}(M) $ は、同相群および固定点成分に関する二重和として表され、式 (35) に示す。
• 第一チャーン類が $ N $ で割り切れるグローバル型の多ファンに対して、レベル $ N $ の楕円的指標は消える。これはコロナリー 5.3 に述べられている。
• $ N=2 $ の場合、指標の消滅は、対応するスピントーラス多様体の符号が消えることを意味する。
• 完全な多ファンに対して $ (-y)^N = 1 $ かつ第一チャーン類が $ N $ で割り切れるならば、$ T_y $-指標は消える。これは [6] の結果を拡張する。
• 完全で非特異な多ファンが非消滅のトッド指標と $ c_1 $ が $ N $ で割り切れるならば、$ N leq n+1 $ であり、等号が成り立つと、ファンは $ P^n $ に同型である。