[論文レビュー] Elliptic integral evaluation of a Bessel moment by contour integration of a lattice Green function

David Broadhurst|ArXiv.org|Jan 31, 2008

Mathematical functions and polynomials参考文献 15被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、1つの内部質量が二重化された2ループ4点フェルミオン図の発生するベッセルモーメントの楕円積分評価を、六角格子グリーン関数のコーシー積分を用いて証明する。主な結果は、正確な評価 $ M = \int_0^\infty t I_0^2(t) K_0^2(t) K_0(2t) \, dt = \frac{1}{12} \mathbf{K}(\sin(\pi/12)) \mathbf{K}(\cos(\pi/12)) = \frac{\Gamma^6(1/3)}{64\pi^2 2^{2/3}} $ であり、モジュラー変換およびバーレイのアペル級数の楕円積分への還元を用いて確立される。

ABSTRACT

A proof is found for the elliptic integral evaluation of the Bessel moment $$M:=\int_0^\infty t I_0^2(t)K_0^2(t)K_0(2t) { m d}t ={1/12} {\bf K}(\sin(π/12)){\bf K}(\cos(π/12)) =\frac{Γ^6(\frac13)}{64π^22^{2/3}}$$ resulting from an angular average of a 2-loop 4-point massive Feynman diagram, with one internal mass doubled. This evaluation follows from contour integration of the Green function for a hexagonal lattice, thereby relating $M$ to a linear combination of two more tractable moments, one given by the Green function for a diamond lattice and both evaluated by using W.N. Bailey's reduction of an Appell double series to a product of elliptic integrals. Cubic and sesquiplicate modular transformations of an elliptic integral from the equal-mass Dalitz plot are proven and used extensively. Derivations are given of the sum rules $$\int_0^\infty(I_0(a t)K_0(a t)-\frac{2}π K_0(4a t) K_0(t))K_0(t) { m d}t=0$$ with $a>0$, proven by analytic continuation of an identity from Bailey's work, and $$\int_0^\infty t I_0(a t)(I_0^3(a t)K_0(8t)- \frac{1}{4π^2} I_0(t)K_0^3(t)) { m d}t=0$$ with $2\ge a\ge0$, proven by showing that a Feynman diagram in two spacetime dimensions generates the enumeration of staircase polygons in four dimensions.

研究の動機と目的

• 1つの内部質量が二重化された2ループ4点フェルミオン図から生ずるベッセルモーメントの予想された評価を証明すること。
• このモーメントと、名前 $ q = \exp(-\pi\sqrt{3}) $ に対応する完全楕円積分の第三特異値との関係を確立すること。
• モーメント $ M $ が六角格子グリーン関数 $ \widetilde{D}(z) $ のコーシー積分から導かれ、解析接続によって既知のモーメントと結びつくことを示すこと。
• ベッセル関数および算術幾何平均（AGM）を含む新しい和則およびモジュラー恒等式を証明し、ベイリーの既存の結果を拡張すること。

提案手法

• 六角格子グリーン関数 $ \widetilde{D}(z) $ のコーシー積分を用い、$ M $ をより取り扱いやすいモーメントと結びつける、消えるコーシー積分を導出する。
• W.N. ベイリーによるアペル二重級数の楕円積分への還元を用い、関連するモーメントを $ \mathbf{K}(\sin(\pi/12)) \mathbf{K}(\cos(\pi/12)) $ の形で評価する。
• 立方およびセスクイプレートモジュラー変換を適用し、$ \sigma_1 $, $ \sigma_2 $, および $ \rho $ の積分を関連づけ、解析接続を用いてモーメント $ M $ の評価を可能にする。
• 和則 $ \int_0^\infty \mathcal{K}_0(a,t) K_0(t) \, dt = 0 $ を導出し、$ a > 0 $ のすべての値に対して、ベッセル関数の組み合わせが $ K_0(t) $ に対して直交することを確立する。
• 格子グリーン関数 $ \widetilde{D}(z) $ のスペクトル表現と、六角格子上の閉路ウォークとの関係を用い、生成関数を介してモーメントと組合せ的数え上げを結びつける。
• クラウゼン積分公式および $ \widetilde{D}(z) $ の級数展開を用い、六角格子ウォークの和と体心立方格子ウォークの和との間の新しい恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 予想されたベッセルモーメント $ M = \int_0^\infty t I_0^2(t) K_0^2(t) K_0(2t) \, dt $ が、格子グリーン関数とコーシー積分を用いて厳密に証明可能か？
• RQ2 2ループ4点フェルミオン図において1つの内部質量を二重化すると、予想どおり $ q = \exp(-\pi\sqrt{3}) $ の名前が得られるか？
• RQ3 すべての $ a > 0 $ に対して成立する和則 $ \int_0^\infty \left( I_0(at)K_0(at) - \frac{2}{\pi} K_0(4at)K_0(t) \right) K_0(t) \, dt = 0 $ は、ベイリーの恒等式の解析接続から導出可能か？
• RQ4 立方およびセスクイプレート変換（$ q \to q^3 $ および $ q \to q^{3/2} $）は、$ \sigma_1 $, $ \sigma_2 $, および $ \rho $ の積分をどのように関連づけ、$ M $ の評価を可能にするか？
• RQ5 2次元六角格子上の閉路ウォークの数え上げと、3次元体心立方格子上のウォークの数え上げを、モーメント $ M $ を介して結ぶ新しい恒等式が存在するか？

主な発見

• ベッセルモーメント $ M = \int_0^\infty t I_0^2(t) K_0^2(t) K_0(2t) \, dt $ は、厳密に $ \frac{1}{12} \mathbf{K}(\sin(\pi/12)) \mathbf{K}(\cos(\pi/12)) = \frac{\Gamma^6(1/3)}{64\pi^2 2^{2/3}} $ に評価され、[2]における予想が裏付けられる。
• 六角格子グリーン関数のコーシー積分を用い、モーメント $ M $ が2つのベッセルモーメントの差として示され、それぞれが第三特異値 $ \mathbf{K}(\sin(\pi/12)) \mathbf{K}(\cos(\pi/12)) $ に等しいことが判明する。
• 連続的な無限個の和則が証明される：すべての $ a > 0 $ に対して $ \int_0^\infty \left( I_0(at)K_0(at) - \frac{2}{\pi} K_0(4at)K_0(t) \right) K_0(t) \, dt = 0 $ が成り立ち、ベイリーの恒等式の解析接続から導出される。
• 立方モジュラー変換 $ q \to q^3 $ およびセスクイプレート変換 $ q \to q^{3/2} $ が導出され、$ \sigma_1 $, $ \sigma_2 $, および $ \rho $ の積分を関連づけ、$ M $ の評価を可能にする。
• 新しい恒等式が確立される：$ \sum_{k=0}^\infty \frac{a_k}{(2k+1)3^{2k+1}} = \frac{\pi}{8} \sum_{k=0}^\infty \frac{{2k \choose k}^3}{2^{8k}} $ であり、六角格子ウォークと体心立方格子ウォークを結ぶ。
• モーメント $ \int_0^\infty t I_0^2(t) K_0^4(t) \, dt $ が $ \int_0^\infty E^2(w) w \, dw $ に等しいことが示され、すべての4つの積分 $ I_1, I_2, I_3, I_4 $ がこのベッセルモーメントに等しいことが証明される。