[論文レビュー] Elliptic K3 surfaces with abelian and dihedral groups of symplectic automorphisms

Alice Garbagnati|ArXiv.org|Apr 9, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、楕円的K3表面において、ファイブレーション構造を保存するアーベル群およびディヘドラル群のシミレクティック自己同型を研究する。ねじれのセクションおよび基本空間の自己同型による商ファイブレーションを構成し、商のネロン・セバレー群が $U \oplus M_G$ に等長であることを示し、シュイダおよびグリツェンコ＝ラムの構成から得られるさまざまな格子、$\Omega_G$、$M_G$ との間の等長性を確立する。

ABSTRACT

We analyze K3 surfaces admitting an elliptic fibration $E$ and a finite group $G$ of symplectic automorphisms preserving this elliptic fibration. We construct the quotient elliptic fibration $E/G$ comparing its properties to the ones of $E$. We show that if $E$ admits an $n$-torsion section, its quotient by the group of automorphisms induced by this section admits again an $n$-torsion section. Considering automorphisms coming from the base of the fibration, we can describe the Mordell--Weil lattice of a fibration described by Kloosterman. We give the isometries between lattices described by the author and Sarti and lattices described by Shioda and by Griees and Lam. Moreover we show that for certain groups $H$ of $G$, $H$ subgroups of $G$, a K3 surface which admits $H$ as group of symplectic automorphisms actually admits $G$ as group of symplectic automorphisms.

研究の動機と目的

• ファイブレーションを保存する有限群のシミレクティック自己同型をもつK3表面を分析すること。
• 元の $\mathcal{E}$ と比較して、商楕円ファイブレーション $\mathcal{E}/G$ を構成し、特にねじれのセクションと特異ファイバーの観点から検討すること。
• 商表面のネロン・セバレー群を特定し、$U \oplus M_G$ および $U \oplus \Omega_G$ の格子と関連付けること。
• シュイダおよびグリツェンコ＝ラムの構成から得られる格子との間の等長性を確立すること：$\Omega_G$、$M_G$ およびそれら。
• K3表面がシミレクティック自己同型の部分群 $H$ をもつとき、必ずや全群 $G$ ももつようになる条件を、格子のランク条件を用いて調べること。

提案手法

• 楕円ファイブレーションを保存するシミレクティック自己同型の有限群 $G$ による商ファイブレーション $\mathcal{E}/G$ を構成すること。
• もし $\mathcal{E}$ が $n$-ねじれセクションをもつならば、そのセクションによって誘導される自己同型 $\sigma_t$ による商 $\mathcal{E}/\sigma_t$ も $n$-ねじれセクションをもち、ファイブレーション構造が保存されることを用いる。
• 特にディヘドラル群 $\mathcal{D}_n$ の場合に、$\mathbb{P}^1$ の基本空間の自己同型によって誘導される自己同型を分析し、対応する商表面を計算すること。
• モーデル＝ヴァイエルストラス格子およびネロン・セバレー群の理論を適用し、$NS(X)$ と $NS(\widetilde{X/G})$ の間に等長性を確立すること。
• 格子論的技法を用いて $\Omega_G$、$M_G$ およびシュイダおよびグリツェンコ＝ラムの構成から得られる格子を比較し、ランクおよび原始的性の議論により等長性を確立すること。
• ペair $(H,G)$ が性質 (P)（$H$-シミレクティックならば $G$-シミレクティック）を満たすための必要十分条件が、$H \subset G$ かつ $\text{rk } \Omega_H = \text{rk } \Omega_G$ であることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれセクションによって誘導されるシミレクティック自己同型による楕円ファイブレーションの商が、ねじれセクションの存在を保存するのはどのような条件下か？
• RQ2 自己同型がファイブレーションを保存するとき、元のK3表面と商K3表面のネロン・セバレー群はどのように関係するか？
• RQ3 $\Omega_G$、$M_G$ およびシュイダとグリツェンコ＝ラムが構成した格子との間の関係は何か？
• RQ4 K3表面がシミレクティック自己同型の部分群 $H$ をもつとき、なぜか常に全群 $G$ をもつようになるのはいつか？
• RQ5 有限群のペア $(H,G)$ で、$H$-シミレクティックならば $G$-シミレクティックであるという性質を満たすものはどれか？ そして、その性質はどのように格子論的に特徴づけられるか？

主な発見

• 楕円ファイブレーション $\mathcal{E}$ が $n$-ねじれセクションをもつならば、そのセクションによって誘導される自己同型 $\sigma_t$ による商 $\mathcal{E}/\sigma_t$ も $n$-ねじれセクションをもつ。
• 商表面 $\widetilde{X/\sigma_t}$ のネロン・セバレー群は、$M_G$ を群 $G$ に関連づける格子である $U \oplus M_G$ に等長である。
• 特定のアーベル群 $G$ に対して、商のネロン・セバレー群は $U \oplus \Omega_G$ に等長であり、$\Omega_G$ がモーデル＝ヴァイエルストラス格子として幾何学的解釈可能であることを示す。
• 格子 $\Omega_G$ は、$n=5,6$ の場合、$MW(F^{(n)}_{\text{gen}})$ に等長であり、$n=5,6$ の場合、$DIH_{2n}(16)$ に等長であることが、シュイダおよびグリツェンコ＝ラムの構成と比較することで示された。
• ペア $(H,G)$ が性質 (P) を満たす（$H$-シミレクティックならば $G$-シミレクティック）のは、$H \subset G$ かつ $\text{rk } \Omega_H = \text{rk } \Omega_G$ のときであり、このようなペアは $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \subset \mathcal{D}_5$ のような特定の群に対してのみ存在する。
• $\text{rk } \Omega_G = 16$ の場合、性質 (P) を満たす唯一のペアは、$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \subset \mathcal{D}_5$、$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \subset \mathcal{D}_6$、$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathcal{D}_4$、および $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2 \subset \mathfrak{A}_{3,3}$ である。