[論文レビュー] Elliptic Quantum Groups U_{q,p}(gl_N) and E_{q,p}(gl_N)

Hitoshi Konno|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2016

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$p$ を変数とする形式的冪級数上の位相的代数構造を用いて、Drinfeld 実現 $U_{q,p}(\text{gl}_N)$ と楕円量子群の FRST 形式化の中心拡大 $E_{q,p}(\text{gl}_N)$ の間に同型を確立する。主な結果は、ガウス分解と $q$-行列式の公式を用いたドリンフェルト生成子と $L$-作用素の明示的対応関係であり、楕円量子群理論における長年の同型問題を解決する。

ABSTRACT

We reformurate a central extension of Felder's elliptic quantum group in the FRST formulation as a topological algebra E_{q,p}(gl_N) over the ring of formal power series in p. We then discuss the isomorphism between E_{q,p}(gl_N) and the elliptic algebra U_{q,p}(gl_N) of the Drinfeld realization. An evaluation H-algebra homomorphism from U_{q,p}(gl_N) to a dynamical extension of the quantum affine algebra U_q(gl_N) resolves the problem into the one discussed by Ding and Frenkel in the trigonometric case. We also provide some useful formulas for the elliptic quantum determinants.

研究の動機と目的

• 楕円量子群のドリンフェルト実現 $U_{q,p}(\text{gl}_N)$ と FRST 形式との間の同型を確立する長年の未解決問題を解決すること。
• FRST 型楕円量子群 $E_{\tau,\nu}(\text{gl}_N)$ を $p$ の形式的冪級数上の位相的代数 $E_{q,p}(\text{gl}_N)$ として再定式化すること。
• ホップアレブロイド構造と整合する中心拡大を構成し、無限次元表現理論を可能にする。
• 楕円量子行列式の明示的公式を提示し、ガウス分解を通じてドリンフェルト生成子と関連付けること。

提案手法

• FRST 型楕円量子群 $E_{\tau,\nu}(\text{gl}_N)$ を $p$-進位相を用いて $\mathbb{C}[[p]]$ 上の位相的代数 $E_{q,p}(\text{gl}_N)$ として再定式化する。
• 文献 [37, 36] の枠組みを用いて $E_{\tau,\nu}(\text{gl}_N)$ の中心拡大を定義し、$p$-進位相における明確な関係式を持つ $E_{q,p}(\text{gl}_N)$ を得る。
• ドリンフェルト生成子と $L$-作用素の間の同型を、$U_q(\widehat{\text{gl}}_N)$ の動的拡大への評価 $H$-代数準同型を用いて確立する。
• 作用素 $\widehat{L}^+(u)$ のガウス分解 $\mathcal{F}_{a,b}(u)\mathcal{K}_{a,b}(u)\mathcal{E}_{a,b}(u)$ を用いて、ドリンフェルト生成子を行列成分と $q$-行列式で表現する。
• $K^+_a(u)$, $E^+_{a,b}(u)$, $F^+_{a,b}(u)$ の明示的公式を $\widehat{L}^+(u)$ の部分行列の $q$-行列式で導出する。
• ${q}\text{det}\widehat{L}^+(u)$ が $E_{q,p}(\text{gl}_N)$ の中心にあることを、すべての生成子と可換であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリンフェルト実現 $U_{q,p}(\widehat{\text{gl}}_N)$ と FRST 型楕円量子群 $E_{\tau,\nu}(\text{gl}_N)$ の間に標準的な同型が存在するか？
• RQ2 楕円量子群の FRST 形式化を、無限次元表現を可能にする中心拡大に拡張できるか？
• RQ3 $q$-行列式を用いて、FRST 形式の $L$-作用素からドリンフェルト生成子を明示的に再構成できるか？
• RQ4 $E_{q,p}(\text{gl}_N)$ の拡張された FRST 代数の中心における $q$-行列式の役割は何か？
• RQ5 ドリンフェルト代数 $U_{q,p}(\text{gl}_N)$ から動的量子アフィン代数への評価準同型が、同型問題をどのように解決するか？

主な発見

• $E_{q,p}(\text{gl}_N)$ は $\mathbb{C}[[p]]$ 上の位相的代数として定義され、$p$-進位相における関係式が明確に定義される。
• $U_{q,p}(\text{gl}_N)$ と $E_{q,p}(\text{gl}_N)$ の間に明示的な同型が、$U_q(\widehat{\text{gl}}_N)$ の動的拡大への評価 $H$-代数準同型を用いて確立される。
• ドリンフェルト生成子 $K^+_a(u)$, $E^+_{a,b}(u)$, $F^+_{a,b}(u)$ は、ガウス分解と $q$-行列式の公式を用いて $L$-作用素から再構成される。
• ${q}\text{det}\widehat{L}^+(u)$ が $E_{q,p}(\text{gl}_N)$ の中心にあることが示され、$q$-det$\widehat{L}^+(u) = \mathcal{N}_N K(u)$ が成り立ち、ここで $K(u) = \prod_{l=1}^N K^+_l(u - l + 1)$ である。
• $K^+_a(u)$, $E^+_{a,b}(u)$, $F^+_{a,b}(u)$ の公式は、$K^+_a(u) = \frac{{q}\text{det}\widehat{L}^+(u)_{a,a}}{{q}\text{det}\widehat{L}^+(u-1)_{a+1,a+1}} \cdot \frac{1}{{\cal N}'_{N-a-1}}$ として導出され、$E^+_{a,b}(u)$ と $F^+_{a,b}(u)$ に対しても同様の $q$-行列式の部分行列による表現式が得られる。
• $E_{q,p}(\text{gl}_N)$ の中心には $q$-行列式が含まれており、楕円カレントの可換関係により $K(u)$ はすべての生成子と可換である。