[論文レビュー] Elliptic regularity and quantitative homogenization on percolation clusters

Scott N. Armstrong, Paul Dario|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 32被引用数 54

ひとこと要約

本稿では、ランダムな多孔質媒体としての超臨界パーコレーションクラスタ上における楕円型方程式の定量的均質化、大スケール正則性、およびリウヴィル型定理を、アームストロングとスミスの定量的均質化フレームワークをランダムな多孔質媒体に適応したマルチスケール再正規化手法を用いて確立する。主な結果は、均質化スケールに関する伸びた指数的モーメント推定と、任意の次数の多項式成長に対するリウヴィル性質の一般化である。

ABSTRACT

We establish quantitative homogenization, large-scale regularity and Liouville results for the random conductance model on a supercritical (Bernoulli bond) percolation cluster. The results are also new in the case that the conductivity is constant on the cluster. The argument passes through a series of renormalization steps: first, we use standard percolation results to find a large scale above which the geometry of the percolation cluster behaves (in a sense made precise) like that of Euclidean space. Then, following the work of Barlow, we find a succession of larger scales on which certain functional and elliptic estimates hold. This gives us the analytic tools to adapt the quantitative homogenization program of Armstrong and Smart to estimate the yet larger scale on which solutions on the cluster can be well-approximated by harmonic functions on $\\mathbb{R}^d$. This is the first quantitative homogenization result in a porous medium and the harmonic approximation allows us to estimate the scale on which a higher-order regularity theory holds. The size of each of these random scales is shown to have at least a stretched exponential moment. As a consequence of this regularity theory, we obtain a Liouville-type result that states that, for each $k\\in\\mathbb{N}$, the vector space of solutions growing at most like $o(|x|^{k+1})$ as $|x|\ o \\infty$ has the same dimension as the set of harmonic polynomials of degree at most $k$, generalizing a result of Benjamini, Duminil-Copin, Kozma, and Yadin from $k\\le1$ to $k\\in\\mathbb{N}$.

研究の動機と目的

• 超臨界パーコレーションクラスタ、すなわちランダムな多孔質媒体のモデルとしての楕円型方程式の定量的均質化理論を構築すること。
• 無限遠における多項式成長が高々ある程度である解についての大スケール正則性およびリウヴィル型結果を確立すること。
• アームストロングとスミスの定量的均質化計画を、パーコレーションクラスタのランダムで幾何学的に不規則な設定に拡張すること。
• 次数が高々 k である多項式成長を示す解の空間の次元が、次数が高々 k である調和多項式の空間の次元と一致することを示し、既存の結果を一般化すること。

提案手法

• 標準的なパーコレーション理論を用いて、クラスタの幾何がユークリッド空間に類似するようになる大スケールを同定する。
• バロウのマルチスケール解析を適用し、連続するスケールにおける関数的および楕円型推定を導出する。
• ディリクレ問題における均質化誤差を制御するための、下位加法的エネルギー量の列を構成する。
• アームストロングとスミスの定量的均質化フレームワークを適応し、解が ℝ^d 上の調和関数によってよく近似されるスケールを推定する。
• スケール間での勾配の振動を制御するためのマルチスケール・ポンカラレ不等式を用いる。
• 関与するすべてのランダムスケールが少なくとも伸びた指数的モーメントを持つことを確立し、確率的制御を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超臨界パーコレーションクラスタ上における楕円型方程式の均質化における収束速度は何か？
• RQ2 ランダムクラスタ上の解の大スケール正則性は、ユークリッド空間におけるものと比べてどう異なるか？
• RQ3 調和関数のリウヴィル性は、パーコレーションクラスタ上での任意の次数の多項式成長を示す解へと拡張可能か？
• RQ4 クラスタ上の解が ℝ^d 上の調和関数によってよく近似されるスケールの大きさは何か？
• RQ5 クラスタの幾何的および解析的性質は、均質化スケールにモーメント束縛を伴う定量的均質化理論を可能にするか？

主な発見

• ディリクレ問題における均質化誤差は、伸びた指数的モーメントを持つランダムスケールによって制御される速度で減少する。
• マルチスケール・ポンカラレ不等式が確立され、勾配のスケール間のフラクチュエーションが制御可能になる。
• |x|→∞ における成長が o(|x|^{k+1}) 未満である解の空間の次元は、任意の k∈ℕ に対して、次数が高々 k である調和多項式の空間の次元と一致する。
• 解が ℝ^d 上の調和関数によってよく近似されるスケールは、少なくとも伸びた指数的尾部を持つ。
• 導電度がクラスタ上で定数であっても、結果は成り立つ。これは、従来の結果をランダムな多孔質媒体の状況に拡張したものである。
• 本手法は、調和近似を用いて、ランダムクラスタ上での高次の正則性推定を導出するための強固なフレームワークを提供する。