[論文レビュー] Elliptic regularity for Dirac operators on families of noncompact manifolds

Johannes Ebert|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用数 14

ひとこと要約

本論文は、非コンパクト多様体の族上のディラック作用素に対する楕円的正則性理論を確立し、$$\mathrm{C}^*\text{-代数}$$-線形作用素および非局所的に非自明なファイバー束を含むようにインデックス理論を一般化する。完全性および楕円的条件の下で、ディラック作用素の有界変換が、$$K^0(X;\mathbf{A})$$ に値をとるフレドホルム族を定義することを証明し、古典的なアティヤー＝シンガーおよびミシュチェンコ＝フォメンコのインデックス理論を非コンパクトおよび非自明な族へと拡張する。

ABSTRACT

We develop elliptic regularity theory for Dirac operators in a very general framework: we consider Dirac operators linear over $C^*$-algebras, on noncompact manifolds, and in families which are not necessarily locally trivial fibre bundles.

研究の動機と目的

• 非コンパクト多様体に係数をとるディラック作用素の一般的枠組みを、楕円的正則性の観点から構築すること。
• 局所的に非自明なファイバー束でない非コンパクトファイバーを持つディラック作用素の族に対するアティヤー＝シンガー族インデックス定理を拡張すること。
• 連続的フィールドのヒルベルト-$$\mathbf{A}$$-モジュールと関数計算を用いて、$$K$$-理論群$$K^0(X;\mathbf{A})$$におけるそのような作用素のインデックスを定義し、特徴づけること。
• モリタ同値および$$KK$$理論を用いて、この一般化された設定におけるトム同型とボット周期性を確立すること。

提案手法

• 連続的フィールドのヒルベルト-$$\mathbf{A}$$-モジュールを用いて、$$\mathrm{C}^*\text{-代数}$$ 上で線形な微分作用素を形式化すること。
• 関数計算およびスペクトル論を用いて、ヒルベルトモジュール上での無限大自己随伴作用素を定義すること。
• 完全性の仮定の下で、非コンパクト多様体上のディラック作用素に対して有界変換$$\frac{D}{(1+D^2)^{1/2}}$$ を構成すること。
• $$KK$$理論を用いて、$$\mathbf{A}$$-線形作用素を含む一般化された設定におけるトム同型とボット周期性を証明すること。
• モリタ同値を用いて、異なるクリフォードモジュールの$$K$$-群を関連づけ、$$K$$-理論群間の同型を確立すること。
• 適切な幾何学的および解析的条件下で、有界変換の族$$\left(\frac{D_x}{(1+D_x^2)^{1/2}}\right)_{x\in X}$$ が$$K^0(X;\mathbf{A})$$ に属するクラスを定義することを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクト多様体に係数をとるディラック作用素が、$$\mathrm{C}^*\text{-代数}$$-係数のもとで本質的に自己随伴であるための条件は何か？
• RQ2 ファイバーが非コンパクトで、かつ族が局所的に非自明でない場合、ディラック作用素の族インデックスはどのように定義できるか？
• RQ3 $$K^0(X;\mathbf{A})$$ におけるインデックスを特徴づけるために、有界変換が果たす役割は何か？
• RQ4 $$\mathrm{C}^*\text{-代数}$$-線形作用素の族の文脈において、トム同型とボット周期性はどのように一般化されるか？
• RQ5 $$KK$$理論およびモリタ同値を用いて、非コンパクト多様体の族上のディラック作用素のインデックスを計算できるか？

主な発見

• $$D$$ が完全な非コンパクト多様体上で本質的に自己随伴であるとき、有界変換$$\frac{D}{(1+D^2)^{1/2}}$$ はヒルベルトモジュール$$L^2(M;V)$$ 上でフレドホルム作用素を定義する。
• 非コンパクトファイバー上の作用素の族に対して、完全性および楕円的条件の下で、有界変換の族は$$K^0(X;\mathbf{A})$$ に属するクラスを定義する。
• ユークリッドベクトルバンドル$$V\to X$$ に対して、トム同型$$K^W(X;\mathbf{A}) \xrightarrow{\sim} K^{W\oplus V}(V,V_0;\mathbf{A})$$ が成り立ち、ボット写像の一般化をなす。
• ボット写像は、ボット類$$\beta \in KK(\mathbf{Cl}^{1,0}, \mathbf{C}_0(\mathbb{R}))$$ との$$KK$$-交差積として実現され、これが$$KK$$-同値であることを証明する。
• モリタ同値$$\operatorname{mor}_V$$ は、同型$$K^W(X;\mathbf{A}) \xrightarrow{\sim} K^{W\oplus V\oplus V^{-}}(X;\mathbf{A})$$ を誘導し、$$K$$-理論的構造を保存する。
• 一般化された$$K$$-理論群$$K^V(X,Y;\mathbf{A})$$ は、$$KK(\mathbf{C}; \Gamma_0(X-Y; \mathbf{Cl}(V^{-}\otimes\mathbf{A})))$$ に同型であり、これはねじれ$$K$$-理論の$$KK$$-理論的記述を提供する。