[論文レビュー] Elliptic solutions to Toda lattice hierarchy and elliptic Ruijsenaars-Schneider model

Vadim Vyacheslavovich Prokofev, A. Zabrodin|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2021

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、2次元Toda格子（2DTL）階層の楕円的解と、可積分な楕円的Ruijsenaars-Schneider（eRS）多体系との間の正確な対応関係を確立する。2DTL階層の高次時間 $t_m$ および $ar{t}_m$ における極の運動は、eRSモデルのスペクトル曲線から導かれるハミルトニアンによって支配されている：$H_m$ は $z=\infty$ における $z$ の負のべき級数展開から得られ、$ar{H}_m$ は $z=0$ における正のべき級数展開から得られる。主な結果は、2DTL階層の高次フローがeRS階層とスペクトル曲線の展開によって同定されることである。

ABSTRACT

We consider solutions of the 2D Toda lattice hierarchy which are elliptic functions of the zeroth time t_0=x. It is known that their poles as functions of t_1 move as particles of the elliptic Ruijsenaars-Schneider model. The goal of this paper is to extend this correspondence to the level of hierarchies. We show that the Hamiltonians which govern the dynamics of poles with respect to the m-th hierarchical times t_m and \bar t_m of the 2D Toda lattice hierarchy are obtained from expansion of the spectral curve for the Lax matrix of the Ruijsenaars-Schneider model at the marked points.

研究の動機と目的

• 楕円的解について、2次元Toda格子（2DTL）階層と楕円的Ruijsenaars-Schneider（eRS）多体系との間の対応関係を確立する。
• 既知の $t_1$ 時間における極の運動の対応関係を、高次時間 $t_m$ および $\bar{t}_m$ の全階層へと拡張する。
• 2DTL階層における極の運動を支配するハミルトニアンを、eRSモデルのスペクトル曲線展開からの係数として同定する。
• これまでの有理的および三角関数的極限の結果を、完全な楕円的ケースへ一般化する。
• eRSの運動量積分の観点から、最初のいくつかのハミルトニアン $H_m$ および $\bar{H}_m$ の明示的表現を提供する。

提案手法

• 本稿は、波動関数およびその随伴の補助線形問題を用い、1つの単純極をもつ基本領域ごとに、二重ブロッホ関数解をポールアンザッツを用いて構成する。
• 楕円的解のタウ関数は、$\tau(x,t,\bar{t}) = \exp\left(-\sum_{k\geq1} kt_k\bar{t}_k\right) \prod_{i=1}^N \sigma(x - x_i(t,\bar{t}))$ として表される。ここで $\sigma(x)$ はワイエルシュトラスのシグマ関数である。
• eRSモデルのスペクトル曲線は、$\det\left(z e^{\eta \zeta(\lambda)} I - L(\lambda)\right) = 0$ で定義され、$L(\lambda)$ はラクス行列で、$\zeta(\lambda)$ はワイエルシュトラスのゼータ関数である。
• 正の時間 $t_m$ のためのハミルトニアンは、$z=\infty$ の周りにおける $\lambda(z)$ の $z$ の負のべき級数展開の係数として抽出される。
• 負の時間 $\bar{t}_m$ のためのハミルトニアンは、$z=0$ の周りにおける $\lambda(z)$ の $z$ の正のべき級数展開の係数として抽出される。
• スペクトル曲線および $\lambda(z)$ の展開を用いて、$H_m$ および $\bar{H}_m$ の明示的公式が導出され、$\sigma(m\eta)/\sigma^m(\eta)$ を用いて再正規化された運動量積分 $J_m$ が定義される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2DTL階層の高次時間フロー $t_m$ および $\bar{t}_m$ は、楕円的Ruijsenaars-Schneiderモデルのハミルトニアンとどのように関係しているか？
• RQ2 スペクトル曲線 $\det(z e^{\eta \zeta(\lambda)} I - L(\lambda)) = 0$ は、2DTL階層のハミルトニアンを生成するために果たす正確な役割は何か？
• RQ3 $\lambda(z)$ の $z=\infty$ および $z=0$ におけるローラン展開から、極の運動を支配するハミルトニアン $H_m$ および $\bar{H}_m$ がどのように導かれるか？
• RQ4 eRSの運動量積分の観点から、最初のいくつかのハミルトニアン $H_m$ および $\bar{H}_m$ の明示的形は何か？
• RQ5 楕円的解の有理的および三角関数的極限は、KPおよびmKP階層に関する先行研究の既知の結果をどのように再現するか？

主な発見

• 2DTL階層における極の運動は、$m$ 番目の正の時間 $t_m$ に対してハミルトニアン $H_m$ によって支配され、これは $z=\infty$ における $z$ の負のべき級数展開における $\lambda(z)$ の $m$ 番目の係数に一致する。
• 2DTL階層における極の運動は、$m$ 番目の負の時間 $\bar{t}_m$ に対してハミルトニアン $\bar{H}_m$ によって支配され、これは $z=0$ における $z$ の正のべき級数展開における $\lambda(z)$ の $m$ 番目の係数に一致する。
• 最初の3つのハミルトニアンの明示的表現は、$H_1 = J_1$、$H_2 = J_2 - \zeta(\eta)J_1^2$、および $H_3 = J_3 - (\zeta(\eta) + \zeta(2\eta))J_1J_2 + \left(\frac{3}{2}\zeta^2(\eta) - \frac{1}{2}\wp(\eta)\right)J_1^3$ である。ここで $J_m$ は再正規化されたeRSの運動量積分である。
• 有理的極限では、ハミルトニアンは $H_1 = I_1$、$H_2 = \eta^{-1}(2I_2 - I_1^2)$、$H_3 = \eta^{-2}(3I_3 - 3I_1I_2 + I_1^3)$ に簡略化され、カルゴロ・モーザー系の既知の結果と一致する。
• 三角関数的極限では、ハミルトニアンは $H_m = -\frac{\sinh(\gamma \eta m)}{\gamma m} \operatorname{tr} L_m^{\text{trig}}$ と表され、[20]の三角関数的Ruijsenaars-Schneiderモデルの結果を再現する。
• スペクトル曲線 $\det(z e^{\eta \zeta(\lambda)} I - L(\lambda)) = 0$ は、eRSモデルのすべての高次ハミルトニアンの生成関数として機能し、$\lambda(z)$ は流れの全階層を符号化している。