[論文レビュー] Elliptic Three-folds I: Ogg-Shafarevich Theory

Igor Dolgachev, Mark Gross|ArXiv.org|Oct 30, 1992

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 37

ひとこと要約

この論文は、楕円3次元繊維被覆にOgg-Shafarevich理論を拡張し、高次元におけるTate–Shafarevich群の計算フレームワークを構築することで、それをブラーレ群および多重繊維と関連付ける。孤立した多重繊維は、特定のカダイリオ型の衝突でのみ発生可能であり、これにより、非自明な3次元 torsion ブラーレ群 ${\bf Z}/3{\bf Z}$ を持つ初の既知の有理型3次元多様体の構成に成功した。

ABSTRACT

We calculate the Tate-Shafarevich group of an elliptic three-fold $f:X ightarrow S$ when $X$ and $S$ are regular and $f$ is flat, relating it to the Brauer group of $X$ and $S$. We show that given certain hypotheses on $f$, the Tate-Shafarevich group has the interpretation of isomorphism classes of elliptic curves over the function field of $S$ which have the same jacobian as the generic fibre of $f$, and for which there exists a relatively minimal model which has no multiple fibres. We use this to give examples of elliptic fibrations with isolated multiple fibres, and also to give a new counterexample to the Luroth problem in dimension three. This is a revised, hopefully improved, version with a few extra theorems and a few errors corrected.

研究の動機と目的

• 曲線上の楕円繊維被覆から高次元の基底、特に3次元多様体へのOgg-Shafarevich理論の一般化を図ること。
• 多重繊維およびエタール局所セクションの観点からTate–Shafarevich群を特徴づけること。
• 非自明な3次元 torsion を持つ有理型3次元多様体の構成を行い、有理性に対する新たな障害を提示すること。
• Mori理論およびMirandaモデルを用いて、楕円繊維被覆が孤立した多重繊維を持たないモデルをもつための条件を洗練させること。

提案手法

• すべての点 $S$ のエタール近傍へのベース変換で自明になるWeil–Châtelet類の部分群として、$\hbox{\tencyr Sh}_{S}(A)$ を定義する。
• エタールコhomologyおよび層論的技法を用いて、$\hbox{\tencyr Sh}_{S}(A)$ を全空間および基底のブラーレ群に関連付ける。
• 滑らかさと繊維の制御を保証するため、基底の吹き上げ上にMirandaモデルを構成し、Tate–Shafarevich群の計算を可能にする。
• Moriの最小モデルプログラムを用いて繊維の構造を解析し、孤立した多重繊維が取りうる可能性のある型を制限する。
• codimension-2 点における局所解析を適用し、孤立した多重繊維を引き起こす判別式成分の衝突の可能性を分類する。
• ${\mathbb P}^2$ 内の3次曲線のネットのジャコビアンを通じて有理型3次元多様体を構成し、そのブラーレ群が $\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}$ であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元の基底上の楕円繊維被覆におけるTate–Shafarevich群の構造は何か？ また、幾何的モデルを用いてどのように計算可能か？
• RQ2 楕円3次元繊維被覆に現れる孤立した多重繊維の型は何か？ また、判別式の分岐集合にどのような条件下で現れるか？
• RQ3 非自明なブラーレ群を有する有理型3次元多様体を構成可能か？ また、これは有理性にどのような意味を持つのか？
• RQ4 対数的変換およびベース変換は、Tate–Shafarevich群および有理セクションの存在にどのように影響するか？

主な発見

• Tate–Shafarevich群 $\hbox{\tencyr Sh}_{S}(A)$ は、すべての繊維上で自明であるブラーレ群 $\mathop{\rm Br}(X)$ の部分群に同型である。
• Mirandaモデルの仮定の下で、楕円3次元繊維被覆における孤立した多重繊維は、$M_1$ が偶数のとき、$I_{M_1} + I_{M_2}^*$ または $I_0^* + III$ のカダイリオ型の衝突でのみ発生可能である。
• $\mathbb{P}^2$ 内の3次曲線のネットのジャコビアンのブラーレ群は $\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}$ であり、非自明な3次元 torsion ブラーレ群を有する初の有理型3次元多様体の例を提供する。
• 判別式分岐集合と横断的に交わる曲線 $Z \subset S$ で、すべての繊維が非特異の場合、$\hbox{\tencyr Sh}_{S\setminus Z}(A) \cong \hbox{\tencyr Sh}_S(A)$ が成り立ち、$Z$ に沿った対数的変換は不可能であることを示唆する。
• 四次対称ヒューリッドに沿って分岐する2重被覆である、四次曲面の上に埋め込まれた有理型3次元多様体は、既知のLüroth問題の反例である。
• 3次曲線のネット構成で用いられた議論の修正により、ジャコビアン多様体の有理型性が確立され、非自明なブラーレ群のため、それが有理的でないことが示された。