[論文レビュー] Elliptically Symmetric Lenses and Violation of Burke's Theorem

Sun Hong Rhie|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2010

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ひとこと要約

この論文は、境界付き楕円的対称レンズ（ESL）が、偏心度積分の平方根項における分岐切断によって生じる擬似臨界線の存在により、ブルクの定理に違反することを示している。滑らかな非有界質量分布とは異なり、境界付きESLでは擬似臨界線を越えて像の数に変化が生じ、全像のパリティ不変性が破れ、長年にわたり滑らかな密度関数が重力レンズにおける像のパリティを保存すると想定されてきた事実に疑問を呈する。

ABSTRACT

We show that the outside equation of a bounded elliptically symmetric lens (ESL) exhibits a pseudo-caustic that arises from a branch cut. A pseudo-caustic is a curve in the source plane across which the number of images changes by one. The inside lens equation of a bounded ESL is free of a pseudo-caustic. Thus the total parity of the images of a point source lensed by a bounded elliptically symmetric mass is not an invariant in violation of the Burke's theorem. A smooth mass density function does not guarantee the validity of the Burke's theorem. Pseudo-caustics of various lens equations are discussed. In the Appendix, Bourassa and Kantowski's deflection angle formula for an elliptically symmetric lens is reproduced using the Schwarz function of the ellipse for an easy access; the outside and inside lens equations of an arbitrary set of truncated circularly or elliptically symmetric lenses, represented as points, sticks, and disks, are presented as a reasonable approximation of the realistic galaxy or cluster lenses. One may consider smooth density functions that are not bounded but fall sufficiently fast asymptotically to preserve the total parity invariance. Any bounded function may be sufficiently closely approximated by an unbounded smooth function obtained by truncating its Fourier integral at a high frequency mode. Whether to use a bounded function or an unbounded smooth function for an ESL lens mass density, whereby whether to observe the total parity invariance or not, incurs philosophical questions. For example, is it sensible to insist that the elliptical symmetry of an elliptic lens galaxy be valid in the entire sky? How a pseudo-caustic close to or intersecting with a caustic must be withered away during a smoothing process and what it means will be investigated in a separate work.

研究の動機と目的

• 境界付き楕円的対称質量分布が、全像のパリティ不変性に関してブルクの定理に違反するかどうかを調査すること。
• 特に、偏心度積分における分岐切断に起因するレンズ方程式における擬似臨界線の起源を分析すること。
• 境界付きESLの外部レンズ方程式に擬似臨界線が存在するが、内部方程式には存在しないこと、その結果パリティ不変性が破れるという事実を示すこと。
• 銀河や銀河団レンズのモデル化における有界 vs. 無限大の滑らかな質量関数の使用が、哲学的および物理的意味に与える影響を検討すること。

提案手法

• 楕円のシュワーツ関数と複素解析的手法を用いて、境界付き楕円的対称レンズの正規化された外部および内部レンズ方程式を導出する。
• コーシーの積分定理およびストークスの定理を用いて、楕円曲線に沿った偏心度積分を評価する。
• 楕円的径方向パラメータηおよび積分上限t_cut（外部では1、内部ではη）を用いてレンズ方程式を分析し、分岐切断の依存性を明らかにする。
• 2つの具体的なモデルを検討する：逆正弦レンズ（σ̃(t) = 1/t）および定密度レンズ（σ̃(t) = 2）、それぞれの明示的レンズ方程式を導出する。
• シュワーツ関数形式を用いてボラスカとカンツキー（1975）の偏心角公式を再現・一般化し、より広範な適用可能性を確保する。
• 銀河および銀河団レンズを点質量、棒状（楕円レンズ）、ディスクの集合としてモデル化し、適切な内部/外部レンズ方程式を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界付き楕円的対称レンズは、ブルクの定理が要請する全像のパリティ不変性を破るか？
• RQ2 境界付きESLの外部レンズ方程式に現れる擬似臨界線の起源は何か？内部方程式とはどのように異なるか？
• RQ3 有界モデルが失敗するレンズ系において、滑らかで非有界な質量密度関数を用いることで、全パリティ不変性を回復できるか？
• RQ4 偏心度積分の平方根項における分岐切断が、どのように擬似臨界線の形成に寄与するか？
• RQ5 有界質量分布をレンズモデルに用いることは、ブルクの定理のような基本的定理の有効性にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 境界付き楕円的対称レンズの外部レンズ方程式は、偏心度積分の平方根項における分岐切断により擬似臨界線を示し、その曲線を越えて像の数が1つ変化する。
• 境界付きESLの内部レンズ方程式には擬似臨界線が存在せず、質量分布内では像の数が安定している。
• その結果、境界付きESLによって形成される像の全パリティは不変ではなく、直接的にブルクの定理に違反する。
• この違反は点特異性に起因するのではなく、積分の数学的構造、特に複素平面上のc-カットの二価性に起因する。
• 無限大に十分に速く減衰する滑らかな非有界質量密度関数は、全パリティ不変性を維持でき、有界モデルの代替手段となる。
• 本論文は、有界質量関数を、フーリエ積分の高周波数截断を用いて非有界滑らかな関数で近似可能であると提唱し、レンズ理論における有界モデルの物理的妥当性について、基礎的な疑問を提起する。