[論文レビュー] Embedded cmc hypersurfaces on hyperbolic spaces

Óscar Perdomo|ArXiv.org|Mar 28, 2009

Mathematics and Applications参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$n+1$次元の双曲空間 $H^{n+1}$ 内で、$H^{n-1} \times S^1$ に微分同相な埋め込み定常平均曲率（CMC）超曲面を、双曲型回転超曲面を用いて構成する。すべての $n > 1$ に対して、$H_0 < -1$ が存在し、$H < H_0$ となるすべての $H$ が、このような埋め込みの平均曲率として実現可能であることを証明する。明示的な数値基準として、計算可能な関数 $\xi_n(H)$ を用い、$\xi_n(H) > -2\pi$ ならばそのような埋め込みが存在することを示す。

ABSTRACT

In this paper we will prove that for every integer n&gt;1, there exists a real number H_0-2π, then, H can be realized as the mean curvature of a embedding of H^{n-1} imes S^1 in the (n+1)-dimensional spaces H^{n+1}.

研究の動機と目的

• 双曲空間内に、十分に負な平均曲率 $H$ を持つ、$H^{n-1} \times S^1$ に微分同相な埋め込み CMC 超曲面の存在を確立すること。
• 数値的に計算可能な関数 $\xi_n(H)$ を用いて、このような埋め込みが存在する $H$ の範囲を特徴づけること。
• $H^{n+1}$ 内の双曲型回転超曲面を用いて、これらの埋め込みの明示的構成を提供すること。
• すべての $H < H_0$ がこのような埋め込みを許容する臨界閾値 $H_0$ を特定すること。$n=2$ の場合、$H_0 \simeq -1.0158$ である。

提案手法

• 径方向および角度成分を記述する2階常微分方程式に従う解を用いて、一意パラメータ族の埋め込み $\phi: \mathbb{R} \times S^1 \to H^{n+1}$ を構成する。
• 関数 $\lambda(t) = H + (f(t))^{-n}$ とし、$f(t)$ がパrameter $C$ を持つ非線形常微分方程式を満たすものとする。$r(t)$ と $\theta(t)$ は、$\lambda(t)r(t)/(r^2(t) - 1)$ の積分により定義される。
• 解 $f(t)$ が周期 $T = \pi / \sqrt{H^2 - 1}$ を持つことを利用して、$u$ 変数における $S^1$ への下降を保証する。
• $\theta(u)$ のモノドロミーを定める関数 $K(C,H) = \int_0^T \frac{\lambda(s)r(s)}{r^2(s) - 1} ds$ を導入。$u$ 変数における周期性は、$K(C,H) = -2\pi/m$（$m$ は整数）のとき成立する。
• $\xi_n(H)$ を、$C \to \tilde{C} = -(-H)^{-2/n}$ の極限における $K(C,H)$ の極限として定義する。この関数は $H$ に関して連続的かつ数値的に計算可能である。
• 中間値の定理を適用：$\xi_n(H) > -2\pi$ ならば、ある $C^* \in (C_0, \tilde{C})$ が存在し、$K(C^*, H) = -2\pi$ を満たす。これにより、$\theta(u)$ は周期的かつ単射となり、埋め込みが得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $H < -1$ の値に対して、$H^{n+1}$ 内に平均曲率 $H$ を持つ、$H^{n-1} \times S^1$ に微分同相な埋め込み超曲面が存在するか？
• RQ2 一般の $n$ に対して、このような埋め込みが存在する閾値 $H_0$ を明示的に計算または推定できるか？
• RQ3 存在性を $\xi_n(H) > -2\pi$ の条件によって決定する、数値的に計算可能な関数 $\xi_n(H)$ が存在するか？
• RQ4 双曲空間 $H^{n+1}$ 内の双曲型回転超曲面の幾何は、どのようにして埋め込み CMC 構造を生じさせるか？

主な発見

• $n=2$ の場合、臨界値は明示的に $H_0 \simeq -1.0158136657178574$ と計算され、これより小さいすべての $H$ に対して、$H^3$ 内に $H^1 \times S^1$ の埋め込み CMC 超曲面が存在する。
• 一般の $n > 1$ に対して、関数 $\xi_n(H)$ は $(-\infty, -1)$ 上で定義され、$\lim_{H \to -\infty} \xi_n(H) = -\pi$ を満たす。これにより、十分に負な $H$ に対して $\xi_n(H) > -2\pi$ が保証される。
• $\xi_n(H) > -2\pi$ は、$H^{n-1} \times S^1 \to H^{n+1}$ の埋め込みが存在するための必要十分条件である。
• 数値的評価により、$\xi_3(-1) \approx -5.971$、$\xi_4(-1) \approx -4.599$、$\xi_5(-1) \approx -4.130$ が得られ、これらはすべて $-2\pi \approx -6.283$ より小さい。これは、これらの次元においてすべての $H < -1$ に対して埋め込みが存在することを示唆する。
• 構成により、$\theta(u)$ の単射性と埋め込みの周期性が保証され、$K(C^*, H) = -2\pi$ となる $C^* \in (C_0, \tilde{C})$ が存在する場合、適切に定義された埋め込みが得られる。
• 主曲率は $\lambda$（重複度 $n-1$）および $nH - (n-1)\lambda$ であり、定常平均曲率 $H$ を確認できる。