[論文レビュー] Embedded constant mean curvature hypersurfaces on spheres

Óscar Perdomo|ArXiv.org|Mar 7, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、$S^{n+1}$ において $n \geq 2$, $m \geq 2$ の条件下で、$O(n) \times \mathbb{Z}_m$ 対称性を持つ非等参的でコンpakな定平均曲率（CMC）超曲面を、$2\pi/m$ 回転に対して不変なプロファイル曲線を分析することによって構成する。$H$ が $\cot(\pi/m)$ と $b_{m,n} = \frac{(m^2-2)\sqrt{n-1}}{n\sqrt{m^2-1}}$ の間にある場合、このような埋め込み CMC 超曲面が存在することを証明し、$S^3$ においてすべての $H \neq 0, \pm 1/\sqrt{3}$ が非等参的 CMC 曲面の平均曲率として実現可能であることを示している。これらの結果は、類似の構成により、双曲的およびユークリッド空間へと拡張可能である。

ABSTRACT

Let m>1 and n>1 be any pair of integers. In this paper we prove that if H is between the numbers \cot(\fracπ{m}) and b_{m,n}=\frac{(m^2-2)\sqrt{n-1}}{n\sqrt{m^2-1}}, then, there exists a non isoparametric, compact embedded hypersurface in S^{n+1} with constant mean curvature H that admits the group O(n)x Z_m in their group of isometries, here O(n) is the set of n x n orthogonal matrices and Z_m are the integers mod m. When m=2 and H is close to the boundary value 0, the hypersurfaces look like two very close n-dimensional spheres with two catenoid necks attached, similar to constructions made by Kapouleas. When m>2 and H is close to \cot(\fracπ{m}), the hypersurfaces look like a necklets made out of m spheres with (m+1) catenoid necks attached, similar to constructions made by Butscher and Pacard. In general, when H is close to b_{m,n} the hypersurface is close to an isoparametric hypersurface with the same mean curvature. As a consequence of the expression of these bounds for H, we have that every H different from 0,\pm\frac{1}{\sqrt{3}} can be realized as the mean curvature of a non isoparametric CMC surface in S^3. For hyperbolic spaces we prove that every non negative H can be realized as the mean curvature of an embedded CMC hypersurface in H^{n+1}, moreover we prove that when H>1 this hypersurface admits the group O(n) imes Z in its group of isometries. Here Z are the integer numbers. As a corollary of the properties proven for these hypersurfaces, for any n> 5, we construct non isoparametric compact minimal hypersurfaces in S^{n+1} which cone in R^{n+2} is stable. Also, we will prove that the stability index of every non isoparametric minimal hypersurface with two principal curvatures in S^{n+1} is greater than 2n+5.

研究の動機と目的

• $S^{n+1}$ において、所望の対称性 $O(n) \times \mathbb{Z}_m$ を持つ非等参的でコンパクトかつ埋め込み可能な CMC 超曲面を構成すること。
• そのような埋め込み超曲面が存在する平均曲率 $H$ の範囲を特定すること。
• 構成法を双曲的空間およびユークリッド空間へと拡張し、埋め込み性および対称性の性質を確立すること。
• $S^{n+1}$ における2つの主曲率をもつ最小超曲面の安定性指数を解析し、$2n+5$ を超えることを示すこと。
• $n \geq 6$ のとき、特定の最小超曲面が $\mathbb{R}^{n+2}$ における安定な最小錐に射影されることを示すこと。

提案手法

• プロファイル曲線の径方向成分と角方向成分を分離し、角関数が厳密に増加することを証明することで、単射性および埋め込み性を保証する。
• $S^{n+1}$ におけるプロファイル曲線をモデル化するための微分方程式 $ (g')^2 = g^{2-2n} q(g) $ を用い、$ q(v) = C v^{2n-2} - (H^2 - 1)v^{2n} - 2H v^n - 1 $ とする。
• 支持関数に依存しないように、半径と角度を別々に追跡する修正版の Otsuki の手法を適用する。
• $\mathbb{Z}_m$ 回転における周期性と対称性を決定するため、全回転角 $ K = \int_0^T \frac{r(u)\lambda(u)}{1 + r^2(u)} du $ を定義する。
• 双曲空間への適用では、$ H > 1 $ の場合に適応された修正された ODE を用い、周期的解と埋め込み性を証明する。
• 超曲面の再構成と定平均曲率の確認のため、幾何的積分法およびベクトル場解析（例：$\eta$, $\nu$）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $S^{n+1}$ において、$O(n) \times \mathbb{Z}_m$ 対称性を持つ非等参的でコンパクトかつ埋め込み可能な CMC 超曲面が存在する $H$ の値は何か？
• RQ2 $S^3$ において、すべての $H \neq 0, \pm 1/\sqrt{3}$ が非等参的 CMC 曲面の平均曲率として実現可能か？
• RQ3 $S^{n+1}$ における非等参的最小超曲面で、2つの主曲率をもつものの安定性指数は何か？
• RQ4 $H^{n+1}$ において、$H > 1$ かつ $O(n) \times \mathbb{Z}$ 対称性を持つ埋め込み CMC 超曲面を構成可能か？
• RQ5 $n \geq 6$ のとき、特定の最小超曲面が $\mathbb{R}^{n+2}$ における安定な最小錐に射影されるか？

主な発見

• $H \in \left(\cot\left(\frac{\pi}{m}\right), \frac{(m^2-2)\sqrt{n-1}}{n\sqrt{m^2-1}}\right)$ の範囲では、$O(n) \times \mathbb{Z}_m$ 対称性を持つ非等参的でコンパクトかつ埋め込み可能な CMC 超曲面が $S^{n+1}$ に存在する。
• $m=2$ で $H \to 0^+$ のとき、超曲面は2つのほぼ重なった $n$-次元球面が2つのカテノイドネックで接続された形に似ている。
• $m>2$ で $H \to \cot(\pi/m)^+$ のとき、超曲面は $m$ 個の球面が $m+1$ 個のカテノイドネックで接続されたネックレスに似ている。
• $n \geq 6$ のとき、本稿では $\mathbb{R}^{n+2}$ における安定な最小錐に射影される非等参的でコンパクトな最小超曲面を $S^{n+1}$ に構成している。
• $S^{n+1}$ における非等参的最小超曲面で2つの主曲率をもつものの安定性指数は、$2n+5$ を超える。
• $H^{n+1}$ において、すべての $H \geq 0$ が埋め込み CMC 超曲面の平均曲率として実現可能であり、$H > 1$ の場合、そのような超曲面は $O(n) \times \mathbb{Z}$ 対称性をもつ。