[論文レビュー] Embedded H-holomorphic maps and open book decompositions

Jens von Bergmann|ArXiv.org|Jul 22, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、安定ハミルトニアン3次元多様体を局所的に foliate する滑らかに埋め込まれたℋ–擬補間写像が存在することを示し、グローバルな断面が存在する場合にそのコンパクト化が可能であることを証明することで、任意の接触3次元多様体がℋ–擬補間写像による開本分解をもつことを確立している。主な貢献は、このようにして得られる分解の存在であり、シンプレクティックトポロジーの技法を拡張して、ウェインシュタイン予想プログラムを擬補間曲線を用いて支援するものである。

ABSTRACT

We investigate nicely embedded H--holomorphic maps into stable Hamiltonian three--manifolds. In particular we prove that such maps locally foliate and satisfy a no--first--intersection property. Using the compactness results of arXiv:0904.1603 we show that connected components of the space of such maps can be compactified if they contain a global surface of section. As an application we prove that any contact structure on a 3--manifold admits and H--holomorphic open book decomposition. This work is motivated by the program laid out by Abbas, Cieliebak and Hofer to give a proof to the Weinstein conjecture using holomorphic curves. The results in this paper, with the exception of the compactness statement, have been independently obtained by C. Abbas in arXiv:0907.3512.

研究の動機と目的

• 3次元接触多様体におけるℋ–擬補間写像による開本分解の存在を確立すること。
• 滑らかに埋め込まれたℋ–擬補間写像が安定ハミルトニアン3次元多様体を局所的に foliate することを示すこと。
• グローバルな断面が存在する場合、このような写像のモジュライ空間の連結成分がコンパクト化可能であることを証明すること。
• J–擬補間曲線理論の結果をℋ–擬補間設定に拡張し、ウェインシュタイン予想へのアプローチを支援すること。

提案手法

• 本稿では、接触平面場上のほぼ複素構造と1形式αの引き戻しに関する周期条件を含む、修正されたコーシー–リーマン方程式の解としてℋ–擬補間写像を定義する。
• 「滑らかに埋め込まれた」という概念を導入し、最大の横断的漸近的接近とフレドホルム指数1を要件とする。
• 著者たちは[vB09]のコンパクト性結果を用いて、グローバルな断面が存在する場合、このような写像のモジュライ空間が自然なコンパクト化をもつことを示す。
• 証明は陰関数定理と、特異点付近での漸近的解析に依存し、δ > 0 であるように重みδを選び、漸近作用素のすべての負固有値λに対してδ < −λとなるようにする。
• 1個のマークド点をもつモジュライ空間から多様体への評価写像が、モジュライ空間がコンパクトで写像が埋め込まれている場合、微分同相写像であることが示される。
• 開本射影の小さな等長変形を保ちつつ、J₀–擬補間写像による開本をℋ–擬補間写像へ変形する変形論的議論が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の3次元多様体上の接触構造は、ℋ–擬補間写像による開本分解で実現可能か？
• RQ2 滑らかに埋め込まれたℋ–擬補間写像は、安定ハミルトニアン3次元多様体を局所的に foliate するか？
• RQ3 滑らかに埋め込まれたℋ–擬補間写像のモジュライ空間は、どのような条件下でコンパクト化可能か？
• RQ4 モジュライ空間のコンパクト性は、グローバルな断面の存在とどのように関係するか？
• RQ5 J–擬補間写像による開本分解の構造は、変形によってℋ–擬補間設定へ拡張可能か？

主な発見

• 閉じた3次元多様体上の任意の接触構造は、一意的な安定ハミルトニアン構造の1パラメータ族を介してJ₀–擬補間写像による開本をℋ–擬補間写像へ変形することで、ℋ–擬補間写像による開本分解をもつことが示された。
• 滑らかに埋め込まれたℋ–擬補間写像は、周囲の安定ハミルトニアン3次元多様体を局所的に foliate し、バインディングの近傍で有限エネルギーfoliationを形成する。
• モジュライ空間の連結成分は、写像の1つがグローバルな断面である場合、忘れマップとコンパクト性定理を用いてコンパクト化可能であることが示された。
• 1個のマークド点をもつモジュライ空間から、バインディングを除いた多様体への評価写像は、モジュライ空間がコンパクトで写像が埋め込まれている場合、微分同相写像である。
• コンパクト化され、写像が滑らかに埋め込まれている場合、ℋ–擬補間写像のモジュライ空間はS¹と微分同相であり、開本分解におけるページが自然にS¹族をなすことが示された。
• コンパクト性結果は、一様に有界なω-およびα-エネルギーと一様に有界な周期に依存しており、それらが首輪的・ノード的ℋ–擬補間写像への収束を保証する。