[論文レビュー] Embedding 5-planar graphs in three pages

Hoffmann, Michael, Klemz, Boris|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2018

Interconnection Networks and Systems参考文献 15被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、最大次数が5である5平面的グラフ（5-planar graph）を任意に3ページのブック埋め込みに埋め込むO(n²)時間のアルゴリズムを提示し、5平面的グラフのページ数が3以下であることを証明している。この手法は再帰的にグラフを2連結成分に分解し、外側サイクルを埋め込み、トポロジカルソート、接点木、アンカーベースのエッジ配置を組み合わせて、エッジの交差を回避する。

ABSTRACT

A \emph{book-embedding} of a graph $G$ is an embedding of vertices of $G$ along the spine of a book, and edges of $G$ on the pages so that no two edges on the same page intersect. the minimum number of pages in which a graph can be embedded is called the \emph{page number}. The book-embedding of graphs may be important in several technical applications, e.g., sorting with parallel stacks, fault-tolerant processor arrays design, and layout problems with application to very large scale integration (VLSI). Bernhart and Kainen firstly considered the book-embedding of the planar graph and conjectured that its page number can be made arbitrarily large [JCT, 1979, 320-331]. Heath [FOCS84] found that planar graphs admit a seven-page book embedding. Later, Yannakakis proved that four pages are necessary and sufficient for planar graphs in [STOC86]. Recently, Bekos et al. [STACS14] described an $O(n^{2})$ time algorithm of two-page book embedding for 4-planar graphs. In this paper, we embed 5-planar graphs into a book of three pages by an $O(n^{2})$ time algorithm.

研究の動機と目的

• 5平面的グラフが3ページに埋め込めるかどうかを特定すること。これは、4平面的グラフに関する既知の結果を拡張するものである。
• 5平面的グラフに2ページで十分かどうかという未解決の問題を解消すること。
• 5平面的グラフの3ページブック埋め込みを効率的かつ2次時間で行うアルゴリズムを開発すること。
• 最大次数5のグラフを扱えるよう、4平面的グラフに用いられた手法を一般化すること。
• 5平面的グラフのページ数が3以下であることを証明し、従来の上界4を改善すること。

提案手法

• 5平面的グラフを2連結成分に分解し、橋のない部分をブロック頂点に縮約して、森Fを形成する。
• 外側サイクルCoutを固定されたスプライン順序に埋め込み、そのすべての辺を1ページに配置するが、外側の頂点を接続する辺を除く。
• 依存関係を考慮した順序で頂点を処理するため、補助グラフGT_auxに対してトポロジカルソートを実行する。
• 接点木Gtanに対してBFSを、アンカーツリーTに対してDFSを適用し、エッジの割り当てをガイドするとともに、平面性制約を維持する。
• ブロック頂点をその外側サイクルに置き換えて再帰的に内部部分グラフを埋め込む。
• 外側サイクル上の頂点に接続するエッジを、コード次数とアンカーポジションに基づいてページに割り当て、交差を回避するためのケース分析を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 5平面的グラフは3ページに埋め込めるか。もし可能であれば、この上界はタイトか？
• RQ2 5平面的グラフのページ数は有界のまま保たれるか。必要な最小ページ数は何か？
• RQ3 4平面的グラフに用いられたO(n²)アルゴリズムを、5平面的グラフに3ページで拡張可能か？
• RQ4 5平面的グラフのページ数を2に削減可能か。それとも3が最小か？
• RQ5 交差を回避するため、再帰的分解とエッジ割り当て戦略をどのように形式化できるか？

主な発見

• 本稿では、任意の5平面的グラフに対して3ページブック埋め込みを構築する2次時間アルゴリズムを提示している。
• 5平面的グラフのページ数は3以下であり、従来の上界4を改善した。
• 4平面的グラフに用いられた手法を拡張し、これまでは2ページで十分だった4平面的グラフのアプローチを、最大次数5のグラフに拡張した。
• エッジの交差が発生しないことを保証する不変性（IP-1からIP-5）を用いることで、埋め込みの正しさを維持している。
• 頂点の次数が5である場合でも、コード構成とアンカーポジションの詳細な分析により、競合を回避している。
• アルゴリズムはO(n²)時間で実行され、VLSI設計やグラフレイアウトの実用的応用においても効率的である。