[論文レビュー] Embedding AC Power Flow in the Complex Plane Part I: Modelling and Mathematical Foundation

Sina Sadeghi Baghsorkhi, Sergey Pavlovich Suetin|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2016

Power System Optimization and Stability参考文献 34被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、パデ近似を用いた解析接続による複素平面フレームワークを提案し、電圧制御および指数的負荷のロバストなモデル化を可能にするAC潮流解析の新規な枠組みを提示する。Padé近似の零点・極の分布が電圧崩壊への近接性を示す指標として機能することを確立し、収束はスタールの理論およびスタール領域におけるグリーン関数によって支配される。

ABSTRACT

Part I of this paper embeds the AC power flow problem with voltage control and exponential load model in the complex plane. Modeling the action of network controllers that regulate the magnitude of voltage phasors is a challenging task in the complex plane as it has to preserve the framework of holomorphicity for obtention of these complex variables with fixed magnitude. The paper presents two distinct approaches to modelling the voltage control of generator nodes. Exponential (or voltage-dependent) load models are crucial for accurate power flow studies under stressed conditions. This new framework for power flow studies exploits the theory of analytic continuation, especially the monodromy theorem for resolving issues that have plagued conventional numerical methods for decades. Here the focus is on the indispensable role of Pade approximants for analytic continuation of complex functions, expressed as power series, beyond the boundary of convergence of the series. The zero-pole distribution of these rational approximants serves as a proximity index to voltage collapse. Finally the mathematical underpinnings of this framework, namely the Stahl's theory and the rate of convergence of Pade approximants are explained.

研究の動機と目的

• 電圧制御を保持する枠組みにおいても、正則性を保つAC潮流問題の数学的に厳密な複素平面形式を構築すること。
• 長年の課題である、正則な枠組み内での発電機ノードにおける電圧制御のモデル化に取り組むこと。
• ストレス状態下での精度向上を目的に、電圧依存型（指数的）負荷モデルを組み込むこと。
• テイラー級数の収束半径を超えて収束を拡張するため、パデ近似による解析接続を活用すること。
• スタールのコンact集合およびグリーン関数を用いた理論的基盤を確立し、収束性および電圧崩壊への近接性を特徴づけること。

提案手法

• 位相子ベースの潮流注入およびアドミittance行列の定式化を用いて、複素平面上でのAC潮流問題をモデル化する。
• 固定された大きさを持つ複素変数の正則性を保ちながら、発電機ノードにおける電圧制御をモデル化する2つの異なる手法を適用する。
• パデ近似を用いて、テイラー級数の収束半径を超えて複素潮流関数を解析接続する。
• モノドロミー定理および解析接続理論を用いて、従来のニュートン・ラプソン法における収束問題を解決する。
• スタールの理論を用いて、パデ近似が容量収束するスタールのコンact集合 $ S $ およびスタール領域 $ D $ を特定する。
• グリーン関数 $ g_S(z,0) $ を用いて、スタール領域 $ D $ 内でのパデ近似の収束速度を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素平面における正則な枠組み内で、解析性を損なわずに発電機ノードにおける電圧制御をどのようにモデル化できるか？
• RQ2 パデ近似は、テイラー級数の収束半径を超えてAC潮流解の定義域をどのように拡張するか？
• RQ3 パデ近似の零点・極の分布は、電圧崩壊およびサドルノード分岐への近接性とどのように関係するか？
• RQ4 代数的関数として現れる潮流方程式から生じる文脈において、パデ近似の収束の理論的根拠は何か？
• RQ5 スタールの理論、特にスタールのコンact集合およびグリーン関数は、潮流解析におけるパデ近似の収束行動をどのように特徴づけるか？

主な発見

• パデ近似は、テイラー級数展開の収束半径を超えて複素潮流関数を継続するための数値的にロバストな手法を提供する。
• パデ近似の零点・極の分布は、スタールのコンact集合 $ S $ に集積し、分岐点付近では密度が高く、シェボタレフ点付近では密度が低くなる。
• パデ近似 $[n/n]_f(z)$ は、スタール領域 $ D $ 内で容量収束し、収束速度は $ |f - [n/n]_f|^{1/n} o e^{-2g_S(z,0)} $ として $ n o ty $ のとき成立する。
• グリーン関数 $ g_S(z,0) $ は、ハイパーエリプティックリーマン面におけるアーベル積分を用いて定義され、$ z $ が境界 $ S $ に近づくにつれて収束速度が遅くなる。
• スタールのコンact集合 $ S $ は、代数的潮流方程式 $ P(z,f(z)) = 0 $ の多項式係数の微小な摂動に対して安定である。
• 本フレームワークにより、潮流の妥当性境界とサドルノード分岐境界が必ずしも一致しないことが明らかになり、分岐点を越えて物理的に非妥当な解が存在する可能性がある。