[論文レビュー] Embedding Crossed Products into a Unital Simple AF-algebra

Huaxin Lin|ArXiv.org|Apr 3, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、$ C(X) \rtimes_\Lambda \mathbb{Z}^d $ およびより一般的な交叉積 $ A \rtimes_\Lambda G $ が単位的単純AF代数に埋め込まれるための条件を確立する。$ C(X) \rtimes_\Lambda \mathbb{Z}^d $ に対しては、厳密に正の $ \Lambda $-不変Borel確率測度の存在が必要であることが示され、さらに作用の生成元 $ \alpha_1 $ が $ (X, \alpha_1) $ を極小かつ一意的エルゴードにするならば、その交叉積は単位的単純AF代数に埋め込める。主な貢献は、$ \mathbb{Z} $-作用に関する先行結果を高ランクアーベル群作用およびトレースランク0で一意的トレース状態を満たしUCTを満たす一般の $ C^* $-代数へと拡張することにある。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact metric space and let $\af$ be a homeomorphism on $X.$ Related to a theorem of Pimsner, we show that $C(X) times_{\af}\Z$ can be embedded into a unital simple AF-algebra if and only if there is a strictly positive $\af$-invariant Borel probability measure. Suppose that $Λ$ is a $\Z^d$ action on $X.$ If $C(X) times_Λ\Z$ can be embedded into a unital simple AF-algebra, then there must exist a strictly positive $Λ$-invariant Borel probability measure. We show that, if in addition, there is a generator $\af_1$ of $Λ$ such that $(X, \af_1)$ is minimal and unique ergodic, then $C(X) times_Λ\Z^d$ can be embedded into a unital simple AF-algebra with a unique tracial state. Let $A$ be a unital separable amenable simple \CA with tracial rank zero and with a unique tracial state which satisfies the Universal Coefficient Theorem and let $G$ be a finitely generated discrete abelian group. Suppose $Λ: G o Aut(A)$ is a \hm. Then $A times_Λ G$ can always be embedded into a unital simple AF-algebra.

研究の動機と目的

• 単位的単純AF代数への $ C(X) \rtimes_\Lambda \mathbb{Z}^d $ の埋め込みの必要十分条件を特定すること。
• 既知の $ \mathbb{Z} $-交叉積に関する結果を $ C(X) $ 上の高ランクアーベル群作用へと拡張すること。
• トレースランク0、一意的トレース状態、UCTを満たす一般の単位的分離可能アーベルな単純 $ C^* $-代数に対する埋め込み定理を確立すること。
• Dan Voiculescuが提起した、$ C(X) \rtimes_\Lambda \mathbb{Z}^2 $ がAF代数に埋め込める条件は何かという問いに応えること。

提案手法

• $ \Lambda $-不変な厳密に正のBorel確率測度を、単位的単純AF代数への埋め込みの必要条件として用いる。
• 循環Rokhlin性質とトレースランク0の技法を応用して埋め込みを構成する。
• 普遍的UHF代数 $ \mathcal{U} $ を用いて代数を安定化させ、トレース構造を保存する。
• 共変単射ホモオモルフィズムを用いて、$ X $ がカントール集合である場合に問題を還元する。
• $ A \rtimes_\alpha \mathbb{Z} $ がトレースランク0かつ一意的トレース状態をもつならばAF代数に埋め込めるという事実を応用し、逐次的 $ \mathbb{Z} $-交叉積を通じて埋め込みを帰納的に構成する。
• $ G = \mathbb{Z}^d \oplus G_0 $ を $ \mathbb{Z}^d $-ケースに還元するために、グリーンの不変性定理とテンソル積分解を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元 $ d > 1 $ に対して、$ C(X) \rtimes_\Lambda \mathbb{Z}^d $ はいつ単位的単純AF代数に埋め込めるか？
• RQ2 $ \mathbb{Z}^d $-作用 $ \Lambda $ にどのような力学的条件を課すと、その埋め込みが可能になるか？
• RQ3 $ \mathbb{Z} $-交叉積に関する埋め込み結果を高ランクアーベル群作用へと拡張できるか？
• RQ4 トレースランク0かつ一意的トレース状態をもつ $ C^* $-代数 $ A $ に対して、$ A \rtimes_\Lambda G $ が単位的単純AF代数に埋め込める条件は何か？
• RQ5 厳密に正の $ \Lambda $-不変測度の存在が、このような埋め込みに対して必要かつ十分であるか？

主な発見

• $ C(X) \rtimes_\Lambda \mathbb{Z}^d $ に対して、単位的単純AF代数への埋め込みのためには、厳密に正の $ \Lambda $-不変Borel確率測度の存在が必要である。
• $ \Lambda $ の生成元 $ \alpha_1 $ に対して $ (X, \alpha_1) $ が極小かつ一意的エルゴードであるならば、$ C(X) \rtimes_\Lambda \mathbb{Z}^d $ は単位的単純AF代数に埋め込める。
• トレースランク0、一意的トレース状態、UCTを満たす単位的分離可能アーベルな単純 $ C^* $-代数 $ A $ に対して、任意の有限生成離散アーベル群 $ G $ に対して、$ A \rtimes_\Lambda G $ は単位的単純AF代数に埋め込める。
• 与えられた条件下で、$ A \rtimes_\Lambda G $ はトレースランク0を引き継ぎ、UCTを満たす。
• 証明は、逐次的 $ \mathbb{Z} $-交叉積を通じた帰納的構成と、普遍的UHF代数 $ \mathcal{U} $ を用いた安定化に依拠している。
• 本結果は、BrownとMatuiによる $ \mathbb{Z} $-作用に関する先行研究を一般化し、Pimsnerの定理を高ランク作用へと拡張している。