[論文レビュー] Embedding mapping class groups into finite products of trees

David Hume|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 30被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、木付き空間にクアイジアイソメトリックに埋め込まれる空間を特徴付ける相対的ボトルネック性質を証明することにより、コンパクトな曲面の写像類群が、有限個の単体的木の直積へクアイジアイソメトリックに埋め込まれることを確立している。主な結果は、このような群が有限なアッサウド＝ナガタ次元を持ち、すべての $ p \geq 1 $ に対して $ \ell^p(\mathbb{N}) $ へ圧縮指数 1 の埋め込みを有することである。

ABSTRACT

We prove the equivalence between a relative bottleneck property and being quasi-isometric to a tree-graded space. As a consequence, we deduce that the quasi-trees of spaces defined axiomatically by Bestvina-Bromberg-Fujiwara are quasi-isometric to tree-graded spaces. Using this we prove that mapping class groups quasi-isometrically embed into a finite product of simplicial trees. In particular, these groups have finite Assouad-Nagata dimension, direct embeddings exhibiting $\ell^p$ compression exponent $1$ for all $p\geq 1$ and they quasi-isometrically embed into $\ell^1(\mathbb N)$. We deduce similar consequences for relatively hyperbolic groups whose parabolic subgroups satisfy such conditions. In obtaining these results we also demonstrate that curve complexes of compact surfaces and coned-off graphs of relatively hyperbolic groups admit quasi-isometric embeddings into finite products of trees.

研究の動機と目的

• 木付き空間にクアイジアイソメトリックに埋め込まれる空間を特徴付ける相対的ボトルネック性質によるクアイジアイソメトリック特徴付けを確立すること。
• ベストヴィナ＝ブロムバーグ＝フジワラが定義した準木の空間が、木付き空間にクアイジアイソメトリックに埋め込まれることを証明すること。
• コンパクトな曲面の写像類群が、有限個の単体的木の直積へクアイジアイソメトリックに埋め込まれることを示すこと。
• これらの結果を、パラボリック部分群が同様の条件を満たす相対的双曲的群へ拡張すること。
• $ \ell^p $ 空間への粗い埋め込みおよび有限な漸近次元に関する結果を導出すること。

提案手法

• 木付き空間にクアイジアイソメトリックに埋め込まれる空間を特徴付ける相対的ボトルネック性質を導入する。
• 測地的距離空間が相対的ボトルネック性質を満たすための必要十分条件が、一様にクアイジアイソメトリックな部分からなる木付き空間にクアイジアイソメトリックに埋め込まれることであることを証明する。
• この特徴付けを、BBF公理的枠組みから得られる準木の空間に適用する。
• 曲面の曲線複体と、相対的双曲的群のコーン付きグラフが、木の有限直積へクアイジアイソメトリックに埋め込まれることを用いる。
• 写像類群を木付き空間の有限直積へクアイジアイソメトリックに埋め込み、その後、局所的にクアイジアイソメトリックな埋め込みを介して単体的木の直積へ埋め込む。
• Hume (2015) の結果を活用し、圧縮指数 1 を持つ $ \ell^p $ 空間への明示的埋め込みを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対的ボトルネック性質は、木付き空間にクアイジアイソメトリックに埋め込まれる空間を特徴付けるために用いられるか？
• RQ2 ベストヴィナ＝ブロムバーグ＝フジワラが定義する準木の空間は、木付き空間にクアイジアイソメトリックに埋め込まれるか？
• RQ3 コンパクトな曲面の写像類群は、有限個の単体的木の直積へクアイジアイソメトリックに埋め込まれるか？
• RQ4 このような埋め込みの粗い幾何的帰結、特に漸近次元および $ \ell^p $ 圧縮に関しては何か？
• RQ5 パラボリック部分群が相対的ボトルネック条件を満たす相対的双曲的群に対しても、同様の結果を拡張できるか？

主な発見

• コンパクトな曲面の写像類群は、有限個の単体的木の直積へクアイジアイソメトリックに埋め込まれる。
• この埋め込みにより、写像類群が有限なアッサウド＝ナガタ次元を持つことが示される。
• 写像類群は $ \ell^1(\mathbb{N}) $ へクアイジアイソメトリックに埋め込まれる。
• すべての $ p \geq 1 $ に対して、写像類群は $ \ell^p(\mathbb{N}) $ へ明示的な埋め込みをもち、$ \ell^p $ 圧縮指数は 1 である。
• コンパクトな曲面の曲線複体と、相対的双曲的群のコーン付きグラフは、有限個の木の直積へクアイジアイソメトリックに埋め込まれる。
• パラボリック部分群が相対的ボトルネック性質を満たす相対的双曲的群も、有限個の木の直積へクアイジアイソメトリックに埋め込まれ、同様の幾何的帰結をもつ。