[論文レビュー] Embedding of a maximal curve in a Hermitian variety

Gábor Korchmáros, Fernando Torres|ArXiv.org|Nov 8, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限体 $ \mathbb{F}_{q^2}\u2009$ 上の F-最大曲線が、ある $M \leq N$ に対して射影空間 $\mathbb{P}^M$ 内の非退化ヘルミート多様体上に埋め込まれた、次数 $q+1$ の非特異曲線と F-同型であることを確立している。主な結果は、このような曲線がヘルミート多様体上に存在する曲線と幾何学的に同値であること、およびその自己同型群が射影ユニタリ群 $\mathrm{PGU}(M+1,q^2)$ に埋め込まれることを示しており、ヘルミート埋め込みを通じて最大曲線の完全な幾何的特徴付けがなされている。

ABSTRACT

Let X be a projective geometrically irreducible non-singular algebraic curve defined over a finite field F of order $q^2$. If the number of F-rational points of X satisfies the Hasse-Weil upper bound, then X is said to be F-maximal. For a point P_0\in X(F), let πbe the morphism arising from the linear series D:=|(q+1)P_0|, and let N:=dim(D). It is known that N\ge 2 and that πis independent of P_0 whenever X is F-maximal. The following theorems will be proved: Theorem 0.1: If X is F-maximal, then π:X o π(X) is a F-isomorphism. The non-singular model π(X) has degree q+1 and lies on a Hermitian variety defined over F of P^N(\bar F); Theorem 0.2: If X is F-maximal, then it is F-isomorphic to a curve Y in P^M(\bar F), with 2\le M\le N, such that Y has degree q+1 and lies on a non-degenerate Hermitian variety defined over F of ¶^M(\bar F). Furthermore, Aut_F(X) is isomorphic to a subgroup of the projective unitary group PGU(M+1,q^2); Theorem 0.3: If X is F-birational to a curve Y embedded in P^M(\bar F) such that Y has degree q+1 and lies on a non-degenerate Hermitian variety defined over F of P^M(\bar F), then X is F-maximal and X is F-isomorphic to Y.

研究の動機と目的

• 有限体 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上の F-最大曲線を、ヘルミート多様体への幾何的埋め込みを通して特徴付けること。
• 曲線が非退化ヘリミート多様体上に存在する曲線と F-同型であるための条件を特定すること。
• 最大曲線の自己同型群と射影ユニタリ群 $\mathrm{PGU}(M+1,q^2)$ の部分群との間の対応関係を確立すること。

提案手法

• 曲線 $X$ 上の有理点 $P_0$ を用いて線形系列 $D = |(q+1)P_0|$ を定義し、写像 $\pi: X \to \pi(X)$ を構成する。
• $\pi(X)$ の次数と次元 $N = \dim D$ を分析し、それが次数 $q+1$ を持つことを示す。
• $\pi(X)$ が $\mathbb{P}^N(\bar{\mathbb{F}}_{q^2})$ 内で $\mathbb{F}_{q^2}$ 上に定義されたヘルミート多様体上にあることを証明する。
• $X$ が F-最大曲線であるとき、写像 $\pi$ が F-同型であることを確立する。
• $2 \leq M \leq N$ に対して、$X$ を $\mathbb{P}^M(\bar{\mathbb{F}}_{q^2})$ に埋め込み、その像が非退化ヘルミート多様体上に存在することを構成する。
• 自己同型群 $\mathrm{Aut}_F(X)$ の構造を用いて、それが $\mathrm{PGU}(M+1,q^2)$ の部分群に埋め込まれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影空間内に存在するヘルミート多様体上にある曲線と F-同型であるような F-最大曲線が成り立つ条件は何か？
• RQ2 任意の F-最大曲線は、$\mathbb{F}_{q^2}$ 上に定義された非退化ヘルミート多様体上に、次数 $q+1$ の非特異曲線として埋め込むことができるか？
• RQ3 F-最大曲線の自己同型群は、射影ユニタリ群 $\mathrm{PGU}(M+1,q^2)$ とどのように関係しているか？
• RQ4 $|(q+1)P_0|$ から生じる写像 $\pi: X \to \pi(X)$ が $X$ が F-最大曲線であるとき F-同型であるか？
• RQ5 F-最大曲線が非退化ヘリミート多様体上に存在する $\mathbb{P}^M(\bar{\mathbb{F}}_{q^2})$ に埋め込まれる最小の次元 $M$ は何か？

主な発見

• 曲線 $X$ が F-最大であるとき、写像 $\pi: X \to \pi(X)$ は F-同型であり、$\pi(X)$ は次数 $q+1$ を持つ。
• $\pi(X)$ は、$N = \dim |(q+1)P_0|$ として、$\mathbb{P}^N(\bar{\mathbb{F}}_{q^2})$ 内で $\mathbb{F}_{q^2}$ 上に定義されたヘルミート多様体上にある。
• 任意の F-最大曲線 $X$ は、$2 \leq M \leq N$ を満たすある $M$ に対して、$\mathbb{P}^M(\bar{\mathbb{F}}_{q^2})$ 内の非退化ヘルミート多様体上に存在する次数 $q+1$ の曲線 $Y$ と F-同型である。
• $\mathrm{Aut}_F(X)$ は、射影ユニタリ群 $\mathrm{PGU}(M+1,q^2)$ の部分群と同型である。
• 曲線 $X$ が $\mathbb{F}_{q^2}$ 上に定義された非退化ヘルミート多様体上に存在する次数 $q+1$ の曲線 $Y$ と F-有理同型であるならば、$X$ は F-最大であり、$Y$ と F-同型である。これは、埋め込み結果の逆を示している。