[論文レビュー] Embedding of exact C*-algebras and continuous fields in the Cuntz algebra O_2

Eberhard Kirchberg, N. Christopher Phillips|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 1997

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ひとこと要約

本稿では、任意の分離可能かつ正確な C*-代数が Cuntz 代数 𝒪₂ に等長埋め込み可能であることを確立し、コンパクト空間上の連続的場としてのこのような代数が、制御された Hölder 型正則性を有する連続的埋め込みを 𝒪₂ に持つことを示している。主な結果として、パラメータ θ に関して Hölder 正則性 𝐿𝑖𝑝^{1/2} を有する、回転代数場に対するユニタリで連続的な 𝒪₂ 値表現の構成がなされ、これはヒルベルト空間表現から知られている最良の Hölder 指数と一致する。

ABSTRACT

We prove that any separable exact C*-algebra is isomorphic to a subalgebra of the Cuntz algebra ${\cal O}_2.$ We further prove that if $A$ is a simple separable unital nuclear C*-algebra, then ${\cal O}_2 \otimes A \cong {\cal O}_2,$ and if, in addition, $A$ is purely infinite, then ${\cal O}_{\infty} \otimes A \cong A.$ The embedding of exact C*-algebras in $\OA{2}$ is continuous in the following sense. If $A$ is a continuous field of C*-algebras over a compact manifold or finite CW complex $X$ with fiber $A (x)$ over $x \in X,$ such that the algebra of continuous sections of $A$ is separable and exact, then there is a family of injective homomorphisms $ϕ_x : A (x) o {\cal O}_2$ such that for every continuous section $a$ of $A$ the function $x \mapsto ϕ_x (a (x))$ is continuous. Moreover, one can say something about the modulus of continuity of the functions $x \mapsto ϕ_x (a (x))$ in terms of the structure of the continuous field. In particular, we show that the continuous field $θ\mapsto A_θ$ of rotation algebras posesses unital embeddings $ϕ_θ$ in ${\cal O}_2$ such that the standard generators $u (θ)$ and $v (θ)$ are mapped to $\operatorname{Lip}^{1/2}$ functions.

研究の動機と目的

• 任意の分離可能かつ正確な C*-代数が Cuntz 代数 𝒪₂ の部分代数として埋め込まれることを証明すること。
• 分離可能かつ核型でユニタリで単純な C*-代数 A に対して、𝒪₂ ⊗ A ≅ 𝒪₂ が成り立ち、A が純粋無限的であれば 𝒪_∞ ⊗ A ≅ A が成り立つことを確立すること。
• 連続的場としての C*-代数の各ファイバーから 𝒪₂ への単射ホモオモルフィズムの連続的族を構成し、そのセクション写像が連続であることを保証すること。
• 回転代数の 𝒪₂ への埋め込みに関して、具体的な正則性推定（特に 𝐿𝑖𝑝^{1/2} 界）を提供すること。これは、ヒルベルト空間表現から知られている最良の結果と一致する。

提案手法

• 正確な C*-代数の構造と、CAR 代数の商代数としての特徴づけを用い、近似表現と摂動技法を用いて 𝒪₂ への埋め込みを構築する。
• 誤差伝播を制御する再帰的近似法を用い、ユニタリ完全正値写像と摂動補題を用いて単射ホモオモルフィズムを構成する。
• 実数直線 ℝ 上での周期的拡張戦略を用い、有理数点における局所的埋め込みを活用して、回転代数場のグローバルな連続的表現を構成する。
• 断面距離 d_S と修正された ρ₀ 関数を用いた距離推定フレームワークを実装し、近接するパrameter における表現のノルム差を制御する。
• 𝒪₂ が特定のクラスの C*-代数に関して普遍的であることと、テンソル積の同型を用いて、𝒪₂ ⊗ A ≅ 𝒪₂ などの構造的結果を証明する。
• 核型 C*-代数の分類プログラムの結果を適用し、K-理論的不変量と Künneth 公式を用いて同型を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の分離可能かつ正確な C*-代数は、Cuntz 代数 𝒪₂ の部分代数として埋め込むことができるか？
• RQ2 分離可能かつ正確な C*-代数の連続的場のファイバーから 𝒪₂ への単射ホモオモルフィズムの連続的族が存在するか。そのセクション写像が連続であるか？
• RQ3 特に、𝕊¹ 上の回転代数場に関して、このような連続的埋め込みの最適な Hölder 正則性は何か？
• RQ4 すべての分離可能かつ核型でユニタリで単純な C*-代数 A に対して、同型 𝒪₂ ⊗ A ≅ 𝒪₂ を証明できるか？
• RQ5 回転代数の 𝒪₂ への埋め込みに関して、𝐿𝑖𝑝^{1/2} 正則性の界は最良であり、有界でない作用素を用いずに達成可能か？

主な発見

• 任意の分離可能かつ正確な C*-代数は、Cuntz 代数 𝒪₂ へのユニタリ*-同型写像を有する。
• 任意の分離可能かつ核型でユニタリで単純な C*-代数 A に対して、𝒪₂ ⊗ A ≅ 𝒪₂ が成り立ち、A が純粋無限的であれば 𝒪_∞ ⊗ A ≅ A が成り立つ。
• 回転代数 A_θ に対して、連続的場としての単射 *-ホモオモルフィズム φ_θ: A_θ → 𝒪₂ が存在し、任意の連続的セクション a に対して写像 θ ↦ φ_θ(a(θ)) が連続である。
• A_θ の標準的生成子 u(θ), v(θ) に対して、埋め込みは ‖φ_θ₁(u(θ₁)) − φ_θ₂(u(θ₂))‖ < C|θ₁ − θ₂|^{1/2} および同様に v に対しても成り立ち、C < 840,000 が成り立つ。
• Hölder 界における指数 1/2 は最良であり、改善できない。これは Haagerup と Rørdam のヒルベルト空間表現から得られる最良性結果と一致する。
• この構成により、有界でない作用素を用いない、新たな作用素論的証明が得られ、回転代数の 𝒪₂ 内における 𝐿𝑖𝑝^{1/2} 表現が得られる。