[論文レビュー] Embedding subsets of tori Properly into $\CC^2$

Erlend Fornæss Wold|ArXiv.org|Feb 20, 2006

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、点でない境界成分を有限個もつトーラス $ \mathbb{T} $ の任意の領域 $ U $ が $ \mathbb{C}^2 $ に適切に埋め込まれることを証明している。証明は、補集合成分の周囲における特異シアーを用いた摂動技法と、連続的なサークル部分集合の族に適用されるブロウワーの不動点定理を組み合わせており、このような領域がランゲであることを示し、その解析関数代数が二重生成であることを確立している。

ABSTRACT

Let $\TT$ be a torus. We prove that all subsets of $\TT$ with finitely many boundary components (none of them being points) embed properly into $\CC^2$.

研究の動機と目的

• 開リーマン面で境界成分が有限個あるものの、$ \mathbb{C}^2 $ への適切な正則埋め込みの存在を確立すること。
• 種数1のリーマン面について、すべての開リーマン面が $ \mathbb{C}^2 $ に埋め込めるかどうかという未解決問題を解消すること。
• このような領域における正則関数の代数が2生成であることを示すこと。
• 均質化と連続的なサークル部分集合の族を用いて、平面上の領域に対する摂動技法をトーラスに基づく領域へ拡張すること。

提案手法

• $ \mathbb{C}^2 $ 内の $ \phi(U) $ の像に対して横断的であるような局所的特異シアー写像を構成し、$ \phi(U) $ の補集合成分内に特異点を配置することで、$ \phi(U) $ をランゲ的表面へ変形する。
• トーラスの部分集合の均質化を用いて、各領域 $ U $ を複素構造および境界データ（中心と半径）をパrameterとする $ \mathbb{R}^N $ の点に同定する。
• [9] および [19] の摂動結果を用いて、$ \mathbb{R}^N $ の球からそれ自身への連続写像 $ \psi $ を定義し、各サークル部分集合に対し、$ \mathbb{C}^2 $ に適切に埋め込まれる摂動領域を対応付ける。
• 写像 $ \psi $ にブロウワーの不動点定理を適用することで、元の領域 $ U $ が像に含まれることを保証し、したがってその適切な埋め込み可能性を保証する。
• $ \mathbb{C}^2 $ 内のファイバーごとの埋め込みとランゲ的領域 $ N \subset \mathbb{C}^2 $ を用いた構成により、$ U $ の像の多項式凸性を確立する。
• $ \mathbb{C}^2 $ 内に Stein かつランゲ的領域 $ N $ が存在し、その像を含むことにより、小さな摂動が多項式凸性を保ち、所望の埋め込みの構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \mathbb{T} $ の任意の領域 $ U $ で、境界成分が有限個（いずれも点ではない）である場合、$ \mathbb{C}^2 $ に適切に埋め込めるか？
• RQ2 $ \mathbb{T} $ のこのような領域 $ U $ における正則関数の代数 $ \mathcal{O}(U) $ は2生成か？
• RQ3 $ \mathbb{C}^2 $ 内のランゲ的表面の小さな摂動を用いて元の領域 $ U $ を近似できるか？ そして、これは $ U $ の適切な埋め込み可能性を示唆するか？
• RQ4 領域に依存する均質化パrameter（複素構造および境界データ）の連続的依存性が、埋め込み可能性を保証するブロウワーの不動点定理の適用を可能にするか？
• RQ5 $ \mathcal{R} $ を閉じたリーマン面とするとき、$ \mathcal{R} $ の領域 $ U \subset \mathcal{R} $ の像が $ \mathbb{C}^2 $ で多項式凸である条件は何か？

主な発見

• 境界成分が有限個で、いずれも点でないすべての $ U \subset \mathbb{T} $ は、$ \mathbb{C}^2 $ に適切な正則埋め込みをもつ。
• $ \mathbb{T} $ のこのような領域 $ U $ における正則関数の代数 $ \mathcal{O}(U) $ は2生成である。
• 境界成分の内部が空でない任意の領域 $ U \subset \mathbb{T} $ に対して、関数代数 $ \mathcal{O}(U) $ は二重生成である。
• 埋め込み下での $ U $ の像は、$ \mathbb{C}^2 $ 内で多項式凸にできる。これにより、その像を含むランゲ的領域の存在が保証される。
• 証明で用いられた摂動法により、トーラス上のサークル部分集合への $ U $ の小さな変形が、連続的に $ \mathbb{C}^2 $ に写されることが保証され、元の領域 $ U $ が連続写像 $ \psi $ の像に含まれる。
• 均質化された領域のパrameter空間 $ \mathbb{R}^N $ にブロウワーの不動点定理を適用することで、元の領域 $ U $ が埋め込み構成の像に含まれることが保証される。