[論文レビュー] Embeddings between weighted complementary local Morrey-type spaces and weighted local Morrey-type spaces

Амиран Гогатишвили, Rza Mustafayev+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2016

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、重み付き補完局所モレイ型空間と重み付き局所モレイ型空間の埋込みにおける最適定数の鋭い両側推定を確立する。問題を反復ハーディー型不等式に還元し、双対性および外挿技術を適用することで、埋込み定数の明示的特徴付けを、関係する重みおよびパラメータの観点から得る。

ABSTRACT

In this paper embeddings between weighted complementary local Morrey-type spaces ${\,^{^{\bf c}}\!}LM_{pθ,ω}({\mathbb R}^n,v)$ and weighted local Morrey-type spaces $LM_{pθ,ω}({\mathbb R}^n,v)$ are characterized. In particular, two-sided estimates of the optimal constant $c$ in the inequality \begin{equation*} \bigg( \int_0^{\infty} \bigg( \int_{B(0,t)} f(x)^{p_2}v_2(x)\,dx \bigg)^{\frac{q_2}{p_2}} u_2(t)\,dt\bigg)^{\frac{1}{q_2}} \le c \bigg( \int_0^{\infty} \bigg( \int_{\,^{^{\bf c}\!}B(0,t)} f(x)^{p_1} v_1(x)\,dx\bigg)^{\frac{q_1}{p_1}} u_1(t)\,dt\bigg)^{\frac{1}{q_1}} \end{equation*} are obtained, where $p_1,\,p_2,\,q_1,\,q_2 \in (0,\infty)$, $p_2 \le q_2$ and $u_1,\,u_2$ and $v_1,\,v_2$ are weights on $(0,\infty)$ and ${\mathbb R}^n$, respectively. The proof is based on the combination of duality techniques with estimates of optimal constants of the embeddings between weighted local Morrey-type and complementary local Morrey-type spaces and weighted Lebesgue spaces, which reduce the problem to the solutions of the iterated Hardy-type inequalities.

研究の動機と目的

• 重み付き補完局所モレイ型空間と重み付き局所モレイ型空間の間の埋込み作用素の有界性を特徴付けること。
• 関与する重みおよびパラメータの観点から、最適埋込み定数の鋭い両側推定を導出すること。
• モレイ型空間間の埋込み問題を、反復ハーディー型不等式の研究に還元すること。
• 双対性および外挿技術を用いて、埋込み作用素の有界性の必要十分条件を確立すること。

提案手法

• 重み付きルベーグ空間上での随伴作用素の有界性に関連付けることで、埋込み問題を双対性技術を用いて扱う。
• 既知の重み付き不等式に関する結果を用いて、反復ハーディー型作用素の有界性を特徴付けることで、埋込み問題を還元する。
• 重み付きルベーグ空間および反復ハーディー不等式の理論を適用し、最適埋込み定数の明示的表現を導出する。
• 埋込み定数の解析に、ハーディー作用素 $ H^* $ 及びその重み付きルベーグ空間におけるノルム推定を用いる。
• ノルム同値性 $ igraceVert f igraceVert_{ ext{space}} = igraceVert igraceVert f igraceVert_{L_p(v, B(0,r))} igraceVert_{L_ heta( ext{weight}, (0,ty))} $ を用いて、モレイ型ノルムを定義する。
• 重み付きルベーグ空間における $ H^* $ の有界性の既知の特徴付けを応用し、埋込み定数の最終的な推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付き補完局所モレイ型空間から重み付き局所モレイ型空間への埋込みが有界であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 関与する重みおよびパラメータの観点から、これらの空間間の最適埋込み定数を明示的に特徴付ける方法は何か？
• RQ3 $ p_1, p_2, heta_1, heta_2 $ および重み $ v_1, v_2, ho_1, ho_2 $ が埋込みの有界性にどのように寄与するか？
• RQ4 モレイ型空間の埋込み問題をどのように反復ハーディー型不等式の研究に還元できるか？
• RQ5 双対性は、このような埋込みにおける最適定数の特徴付けにおいて、どのような役割を果たすか？

主な発見

• 最適埋込み定数 $ igraceVert ext{Id} igraceVert_{ ext{embedding}} $ は、ハーディー作用素 $ H^* $ を通じて表現される双対の $ igraceVert igraceVert igraceVert ext{Id} igraceVert_{ ext{dual}} igraceVert $ と同値である。
• $ \theta_1 \neq \theta_2 $ の場合、最適定数は二つの項 $ C_3 $ および $ C_4 $ で特徴付けられ、$ C_3 $ は $ \rho_1 $ のグローバルな $ L^\theta $ ノルムに依存し、$ C_4 $ はより複雑な積分表現を含む。
• $ \theta_1 \to \theta_2 $ のとき、$ C_4 $ の式が単純化され、$ \tilde{V}(t) $（$ v_2 $ の重み付き積分）、および $ \rho_1 $-ノルムの単調減少性が支配的になる。
• 埋込み定数は明示的に $ \big\braceVert \text{Id} \big\braceVert \thickapprox \big\braceVert \rho_2 \big\braceVert_{\theta_2, (t,\infty)} \big\braceVert \big\braceVert \rho_1^{-1} \big\braceVert_{\theta_1, (0,|x|)} \big\braceVert_{\text{ess sup}, v_1^{-1}v_2, B(0,t)} $ と与えられ、径方向重みおよびノルムに依存することが示される。
• 結果は鋭く、既知のハーディー型不等式の特徴付けをモレイ型空間の文脈に拡張し、与えられたパラメータ制約下での埋込み問題に対する完全な解を提供する。