[論文レビュー] Embeddings of Decomposition Spaces into Sobolev and BV Spaces

Felix Voigtlaender|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2016

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、分解空間がソボレフ空間およびBV空間へ埋め込まれるための鋭い完全な特徴付けを確立する。$\pi(\mathcal{Q},L^p,Y) \hookrightarrow W^{k,q}(\mathbb{R}^d)$ が成り立つための明示的かつ計算可能な条件——覆いの幾何学的性質と列空間の重みに基づく——を提示する。$q \in (0,2] \cup \{\infty\}$ に対して完全な同値性を示し、$W^{1,1}$ を通じてBV空間への埋め込みへも拡張する。

ABSTRACT

In the present paper, we investigate whether an embedding of a decomposition space $\mathcal{D}\left(\mathcal{Q},L^{p},Y ight)$ into a given Sobolev space $W^{k,q}(\mathbb{R}^{d})$ exists. As special cases, this includes embeddings into Sobolev spaces of (homogeneous and inhomogeneous) Besov spaces, ($α$)-modulation spaces, shearlet smoothness spaces and also of a large class of wavelet coorbit spaces, in particular of shearlet-type coorbit spaces. Precisely, we will show that under extremely mild assumptions on the covering $\mathcal{Q}=\left(Q_{i} ight)_{i\in I}$, we have $\mathcal{D}\left(\mathcal{Q},L^{p},Y ight)\hookrightarrow W^{k,q}(\mathbb{R}^{d})$ as soon as $p\leq q$ and $Y\hookrightarrow\ell_{u^{\left(k,p,q ight)}}^{q^{ riangledown}}\left(I ight)$ hold. Here, $q^{ riangledown}=\min\left\{ q,q' ight\} $ and the weight $u^{\left(k,p,q ight)}$ can be easily computed, only based on the covering $\mathcal{Q}$ and on the parameters $k,p,q$. Conversely, a necessary condition for existence of the embedding is that $p\leq q$ and $Y\cap\ell_{0}\left(I ight)\hookrightarrow\ell_{u^{\left(k,p,q ight)}}^{q}\left(I ight)$ hold, where $\ell_{0}\left(I ight)$ denotes the space of finitely supported sequences on $I$. All in all, for the range $q \in (0,2]\cup\{\infty\}$, we obtain a complete characterization of existence of the embedding in terms of readily verifiable criteria. We can also completely characterize existence of an embedding of a decomposition space into a BV space.

研究の動機と目的

• 分解空間からソボレフ空間 $W^{k,q}(\mathbb{R}^d)$ への埋め込みの完全で鋭い特徴付けを提供すること。
• ベソフ空間、モジュレーション空間、シェアレット、コオルビット空間に関する既存の結果を統合・一般化すること。
• BV空間への埋め込みに必要な十分条件を、$W^{1,1}$ への埋め込みと同値であることによって確立すること。
• $Y = \ell_v^r(I)$ の場合に、埋め込み条件の検証をフーリエ解析を避けて初等的な微積分に簡略化すること。

提案手法

• 周波数被覆 $\mathcal{Q} = (Q_i)_{i \in I}$ と列空間 $Y \leq \mathbb{C}^I$ を用いて分解空間 $\mathcal{D}(\mathcal{Q},L^p,Y)$ を定義する。
• パラメータ $k,p,q$ と被覆 $\mathcal{Q}$ から導かれる重み $u^{(k,p,q)}$ を導入し、これが埋め込み挙動を支配する。
• $\mathcal{D}(\mathcal{Q},L^p,Y) \hookrightarrow W^{k,q}(\mathbb{R}^d)$ が成り立つための必要十分条件として、$p \leq q$ かつ $Y \hookrightarrow \ell_{u^{(k,p,q)}}^{q^\triangledown}(I)$ を示し、ここで $q^\triangledown = \min\{q, q'\}$ である。
• $q \in (0,2] \cup \{\infty\}$ の場合に、条件 $Y \hookrightarrow \ell_{u^{(k,p,q)}}^{q^\triangledown}(I)$ が必要かつ十分であることを証明する。
• $Y = \ell_v^r(I)$ の場合、埋め込み条件を $\frac{u}{v} \in \ell^{s \cdot (r/s)'}(I)$ に簡略化し、微積分に基づく検証が可能になる。
• 波形およびシェアレットのコオルビット空間への拡張のために、同型 $\mathrm{Co}(L_v^{p,q}(\mathbb{R}^d \rtimes H)) \cong \mathcal{D}(\mathcal{Q}_H, L^p, \ell_u^q)$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分解空間 $\mathcal{D}(\mathcal{Q},L^p,Y)$ がソボレフ空間 $W^{k,q}(\mathbb{R}^d)$ に埋め込まれる条件は何か？
• RQ2 $q \in (0,2] \cup \{\infty\}$ の場合に、$W^{k,q}(\mathbb{R}^d)$ への埋め込みが完全に特徴付けられるか？
• RQ3 分解空間が有界な $k$ 回連続微分可能な関数空間 $C_b^k(\mathbb{R}^d)$ に埋め込まれる条件は何か？
• RQ4 BV への埋め込みと $W^{1,1}(\mathbb{R}^d)$ への埋め込みの関係は何か？
• RQ5 $Y = \ell_v^r(I)$ の場合に、埋め込み条件を純粋に点ごとの微積分的チェックに簡略化できるか？

主な発見

• 埋め込み $\mathcal{D}(\mathcal{Q},L^p,Y) \hookrightarrow W^{k,q}(\mathbb{R}^d)$ が成り立つための必要十分条件は、$p \leq q$ かつ $Y \hookrightarrow \ell_{u^{(k,p,q)}}^{q^\triangledown}(I)$ であり、ここで $q^\triangledown = \min\{q, q'\}$ である。
• $q \in (0,2] \cup \{\infty\}$ の場合、条件 $Y \hookrightarrow \ell_{u^{(k,p,q)}}^{q^\triangledown}(I)$ が必要かつ十分であり、完全な特徴付けが得られる。
• 埋め込み $\mathcal{D}(\mathcal{Q},L^p,Y) \hookrightarrow W^{k,\infty}(\mathbb{R}^d)$ は、$C_b^k(\mathbb{R}^d)$ への埋め込みと同値である。
• 分解空間がBVに埋め込まれるための必要十分条件は、$W^{1,1}(\mathbb{R}^d)$ に埋め込まれることである。
• $Y = \ell_v^r(I)$ の場合、条件 $Y \hookrightarrow \ell_u^s(I)$ は $\frac{u}{v} \in \ell^{s \cdot (r/s)'}(I)$ に簡略化され、フーリエ解析を用いずに初等的な検証が可能になる。
• これらの基準は $q \in (0,2] \cup \{\infty\}$ に対して鋭く、シェアレット型コオルビット空間や対角群コオルビット空間に対しても非常に効果的である。