[論文レビュー] Embeddings of Demi-Normal Varieties

Jeremy Berquist|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の準射影的双正規多様体が射影的双正規多様体に埋め込まれることを確立し、埋め込みと解消の技法を用いて、特に半滑らかな Grauert-Riemenschneider の消滅定理と、半有理的特異点における半解消の独立性という重要な双対性定理を、射影的から準射影的設定へと拡張可能であることを示している。

ABSTRACT

Our primary result is that a demi-normal quasi-projective variety can be embedded in a demi-normal projective variety. Recall that a demi-normal variety $X$ is a variety with properties $S_2$, $G_1$, and seminormality. Equivalently, $X$ has Serre's $S_2$ property and there is an open subvariety $U$ with complement of codimension at least 2 in $X$, such that the only singularities of $U$ are (analytically) double normal crossings. The term demi-normal was coined by Kollár in \cite{Kol13}. As a consequence of this embedding theorem, we prove a semi-smooth Grauert-Riemenschneider vanishing theorem for quasi-projective varieties, the projective case having been settled in \cite{Berq14}. The original form of this vanishing result appears in \cite{GR70}. We prove an analogous result for semi-rational singularities. The definition of semi-rationality requires that the choice of a semi-resolution is immaterial. This also has been established in the projective case in \cite{Berq14}. The analogous result for quasi-projective varieties is settled here. Semi-rational surface singularities have also been studied in \cite{vS87}.

研究の動機と目的

• 射影的双正規多様体における半滑らかな Grauert-Riemenschneider の消滅定理を、射影的から準射影的双正規多様体へと拡張すること。
• 準射影的双正規多様体における半有理的特異点の定義が、半解消の選択に依存しないことを確立すること。
• 準射影的状況における双対性定理を可能にする基礎的埋め込み結果を提供すること。
• [2]（射影的状況）の結果を、構成的技法を用いてより広い準射影的設定へ一般化すること。

提案手法

• S2-化と半正規化を用いて、準射影的双正規多様体の射影的閉包を構成し、重要な特異点を保つこと。
• Gorenstein性を codimension 1 で保つために、普遍の押し出し構成を適用すること。
• 吹き上げと有限の有理的埋め込みの系列を用いて、射影的かつ双正規なコンパactification を構成すること。
• 準射影的多様体を射影的双正規環境空間に埋め込み、射影的状況での既知の消滅定理を活用すること。
• コンパクト化された多様体上に、元の多様体に制限される半解消を構成すること。
• 双対性と基底変換を用いて、消滅結果を射影的から準射影的設定へと移動すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の準射影的双正規多様体は、射影的双正規多様体に埋め込めるか？
• RQ2 半滑らかな Grauert-Riemenschneider の消滅定理は、準射影的双正規多様体に対しても成り立つか？
• RQ3 準射影的状況において、半有理的特異点の定義は、半解消の選択に依存しないか？
• RQ4 射影的状況における半有理的特異点に関する結果は、準射影的設定へ拡張可能か？
• RQ5 特異構造を保ちつつ、準射影的双正規多様体をコンパクト化する一般的手法は存在するか？

主な発見

• 準射影的双正規多様体は、双正規である射影的閉包をもつ。これは、重要な埋め込み定理を確立する。
• 半滑らかな Grauert-Riemenschneider の消滅定理は、準射影的双正規多様体に対しても成り立つ。これは、かつて射影的状況でのみ知られていた結果の拡張である。
• 半解消の下での正の次数における canonical sheaf の高次直接像は、準射影的双正規多様体において消える。
• 準射影的双正規多様体において、半有理的特異点の定義は、半解消の選択に依存しない。
• 埋め込み結果により、基底変換と制限を用いて、射影的状況からの双対性定理を準射影的状況へと移動可能である。
• S2-化、半正規化、および普遍の押し出しを用いて、特異性およびコhomological性質を保つ射影的かつ双正規なコンパクト化の構成が可能である。