[論文レビュー] Embeddings of derived categories of bornological modules

Ralf Meyer|ArXiv.org|Oct 28, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 34

ひとこと要約

本稿では、Bornololgicalなテンソル積とホモロジー代数を用いて、Fréchet代数 $ B $ 上のbornologicalな $ B $-加群の導来圏が、その稠密部分代数 $ A $ 上の導来圏に完全忠実に埋め込まれる条件を確立する。主な結果は、包含写像 $ A \to B $ が等コホモロジカルである場合、そのような埋め込みが完全忠実になることである。これは非可換トーラスや多項式成長を示す群代数において成立する。

ABSTRACT

Let A be an algebra with a countable basis and let B be, say, a Frechet algebra that contains A as a dense subalgebra. This embedding induces a functor from the derived category of B-modules to the derived category of A-modules. In many important examples, this functor is fully faithful. We study this property in some detail, giving several equivalent conditions, examples, and applications. To prepare for this, we explain carefully how to do homological algebra with modules over bornological algebras. We construct the derived category of bornological left A-modules and some standard derived functors, with special emphasis on the adjoint associativity between the tensor product and the internal Hom functor. We also discuss the category of essential modules over a non-unital algebra and its functoriality.

研究の動機と目的

• Bornologicalな $ A $-加群のためのホモロジー代数、特に導来圏と導来函手を構築すること。
• Fréchet代数 $ B $ の稠密部分代数 $ A $ であるような $ A \to B $ の等コホモロジカルなホモオモルフィズムの概念を定義し、研究すること。
• 導来函手 $ D(B\text{-mod}) \to D(A\text{-mod}) $ が完全忠実になる条件を確立すること。
• 理論を非可換トーラスおよび群代数のHochschildホモロジーと周期的循環ホモロジーの計算に応用すること。
• Diophantine近似が解像作用素の成長に与える影響と、それがホモロジーに与える影響を明確にすること。

提案手法

• Bornologicalなテンソル積と内部Hom函手を用いて、bornological左 $ A $-加群の導来圏を構成する。
• $ B $ 上の分解を定義するために、$ A $-バランスドな完全なbornologicalテンソル積 $ \hat{\otimes}_A $ を導入する。
• $ P_\bullet $ を自由な $ A $-双加群分解とするとき、複体 $ B \hat{\otimes}_A P_\bullet \hat{\otimes}_A B $ を用いて等コホモロジカル性をテストする。
• 非可換トーラス $ \mathcal{P}(\mathbb{T}^2_\theta) \to \mathcal{S}(\mathbb{T}^2_\theta) $ に理論を適用し、これが等コホモロジカルであることを示す。
• 分解複体の収縮性を、特に多項式成長と冪零性を示す群の幾何的性質に還元する。
• $ \mathbb{Z}^* $ 上での $ (1 - \exp(2\pi i \theta m))^{-1} $ の成長を解析し、$ \mathcal{T}(\mathbb{T}^2_\theta) $ のHochschildホモロジーが $ \mathcal{P}(\mathbb{T}^2_\theta) $ のそれと一致する条件を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 稠密包含 $ A \to B $ に対して、函手 $ D(B\text{-mod}) \to D(A\text{-mod}) $ がいつ完全忠実になるか。
• RQ2 複体 $ B \hat{\otimes}_A P_\bullet \hat{\otimes}_A B $ が $ B $ を分解する（すなわち等コホモロジカルである）ための条件は何か。
• RQ3 Diophantine近似の性質が $ \mathcal{T}(\mathbb{T}^2_\theta) $ のHochschildホモロジーにどのように影響するか。
• RQ4 群論的条件下で、包含 $ \mathbb{C}[G] \to \mathcal{S}(G) $ が等コホモロジカルになるのはいつか。
• RQ5 なぜ周期的循環ホモロジーは $ \mathcal{P}(\mathbb{T}^2_\theta) $ のホモロジーと一致するが、Hochschildホモロジーは異なる可能性があるのか。

主な発見

• 包含 $ \mathcal{P}(\mathbb{T}^2_\theta) \to \mathcal{S}(\mathbb{T}^2_\theta) $ は等コホモロジカルであるため、導来圏の埋め込みは完全忠実である。
• $ \mathcal{T}(\mathbb{T}^2_\theta) $ のHochschildホモロジーが $ \mathcal{P}(\mathbb{T}^2_\theta) $ のそれと一致するのは、$ (1 - \exp(2\pi i \theta m))^{-1} $ が指数的成長を示さない場合に限る。
• 有理数でない $ \theta $ の場合、$ \mathcal{P}(\mathbb{T}^2_\theta) $ のホモロジーは次数 0, 1, 2 でそれぞれ $ \mathbb{C} $, $ \mathbb{C}^2 $, $ \mathbb{C} $ であり、それ以上の次数では消える。
• 解像作用素が指数的に成長する場合、$ \mathcal{T}(\mathbb{T}^2_\theta) $ のHochschildホモロジーは次数 0 および 1 に無限次元の非Hausdorff成分を含む。
• $ \mathcal{T}(\mathbb{T}^2_\theta) $ の周期的循環ホモロジーは、ゲージ不変性のおかげで $ \mathcal{P}(\mathbb{T}^2_\theta) $ のそれと一致する。
• $ G $ が多項式成長を示すか、可換である場合、包含 $ \mathbb{C}[G] \to \mathcal{S}(G) $ は等コホモロジカルである。これは大規模幾何と微分形式を用いた解析により示された。