[論文レビュー] Embeddings of discrete groups and the speed of random walks

Assaf Naor, Yuval Peres|ArXiv.org|Aug 7, 2007

Geometric and Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、p 次の滑らかさを示すバナッハ空間への離散群の等長埋め込みに関する滑らかさのモジュラスが、群上のランダムウォークの速度と関連する、鋭い上界を確立する。Banach 空間 $X$ が p 次の滑らかさを持つ場合、等長ヒルベルト圧縮指数は $ \alpha^{\#}_{X}(G) \leq \frac{1}{p\beta^{*}(G)}$ を満たす。ここで $ \beta^{*}(G)$ は、群上の単純ランダムウォーク $ \{W_t\}$ における期待距離 $\mathbb{E}[d_G(W_t,e)]$ の成長率を測る。この結果は Tessera の問いに答え、Guentner と Kaminker の結果を一般化する。

ABSTRACT

For a finitely generated group G and a banach space X let α^*_X(G) (respectively α^#_X(G)) be the supremum over all α\ge 0 such that there exists a Lipschitz mapping (respectively an equivariant mapping) f:G o X and c>0 such that for all x,y\in G we have \|f(x)-f(y)\|\ge c\cdot d_G(x,y)^α. In particular, the Hilbert compression exponent (respectively the equivariant Hilbert compression exponent) of G is α^*(G)=α^*_{L_2}(G) (respectively α^#(G)= α_{L_2}^#(G)). We show that if X has modulus of smoothness of power type p, then α^#_X(G)\le \frac{1}{pβ^*(G)}. Here β^*(G) is the largest β\ge 0 for which there exists a set of generators S of G and c>0 such that for all t\in \N we have \E\big[d_G(W_t,e)\big]\ge ct^β, where \{W_t\}_{t=0}^\infty is the canonical simple random walk on the Cayley graph of G determined by S, starting at the identity element. This result is sharp when X=L_p, generalizes a theorem of Guentner and Kaminker and answers a question posed by Tessera. We also show that if α^*(G)\ge 1/2 then α^*(G\bwr \Z)\ge \frac{2α^*(G)}{2α^*(G)+1}. This improves the previous bound due to Stalder and ValetteWe deduce that if we write \Z_{(1)}= \Z and \Z_{(k+1)}\coloneqq \Z_{(k)}\bwr \Z then α^*(\Z_{(k)})=\frac{1}{2-2^{1-k}}, and use this result to answer a question posed by Tessera in on the relation between the Hilbert compression exponent and the isoperimetric profile of the balls in G. We also show that the cyclic lamplighter groups C_2\bwr C_n embed into L_1 with uniformly bounded distortion, answering a question posed by Lee, Naor and Peres. Finally, we use these results to show that edge Markov type need not imply Enflo type.

研究の動機と目的

• 有限生成群が p 次の滑らかさを持つバナッハ空間への等長圧縮指数に鋭い上界を確立すること。
• 群上のランダムウォークの速度と、そのバナッハ空間における幾何的埋め込み性質との関連を示すこと。
• ランプライト群のヒルベルト圧縮指数に関する未解決問題と、マーコフ型とエンフロ型の関係に関する未解決問題を解消すること。
• 反復ランプライト群 $\mathbb{Z}_{(k)} = \mathbb{Z}_{(k-1)} \wr \mathbb{Z}$ の正確なヒルベルト圧縮指数を調査すること。

提案手法

• 群 $G$ から $X$ への等長リプシッツ埋め込み $f: G \to X$ が存在し、$\|f(x)-f(y)\| \geq c \cdot d_G(x,y)^\alpha$ を満たすような $\alpha \geq 0$ の上界として $\alpha^{\#}_{X}(G)$ を定義する。
• 群のケイリー図形上の単純ランダムウォーク $\{W_t\}$ に対して、期待距離 $\mathbb{E}[d_G(W_t,e)]$ が $ct^\beta$ 以上に成長する最大の $\beta \geq 0$ を $\beta^{*}(G)$ と定義する。
• 目標バナッハ空間 $X$ の p 次の滑らかさのモジュラスを用いて、不等式 $\alpha^{\#}_{X}(G) \leq \frac{1}{p\beta^{*}(G)}$ を導出し、先行研究を一般化する。
• $L_p$ 空間にこの境界を適用し、$\alpha^{\#}_p(G) \leq \frac{1}{p\beta^{*}(G)}$ を示し、$X = L_p$ の場合に鋭さを証明する。
• この境界を用いて、反復ランプライト群のヒルベルト圧縮指数の正確な値を導出する：$\alpha^{*}(\mathbb{Z}_{(k)}) = \frac{1}{2 - 2^{1-k}}$。
• この結果を用いて、巡回ランプライト群 $C_2 \wr C_n$ が $L_1$ に一様有界な歪みで埋め込まれることを示し、Lee, Naor, および Peres が提起した問いに答えを提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限生成群 $G$ および p 次の滑らかさを持つバナッハ空間 $X$ に対して、不等式 $\alpha^{\#}_{X}(G) \leq \frac{1}{p\beta^{*}(G)}$ が成り立つか。
• RQ2 任意の有限生成アーベル群 $G$ に対して、$\alpha^{*}(G \wr \mathbb{Z}) = \frac{2\alpha^{*}(G)}{2\alpha^{*}(G) + 1}$ が成り立つか。
• RQ3 任意の有限生成アーベル群 $G$ に対して、$\alpha^{*}(G) \geq \frac{1}{2}$ が成り立つか。
• RQ4 エッジマーコフ型 2 が、ある $p > 1$ に対してエンフロ型 $p$ を含意するか。
• RQ5 エッジマーコフ型 2 を持つが、任意の $p > 1$ に対してエンフロ型 $p$ を持たない有限生成群が存在するか。

主な発見

• 本稿は、任意の p 次の滑らかさを持つバナッハ空間 $X$ に対して、$\alpha^{\#}_{X}(G) \leq \frac{1}{p\beta^{*}(G)}$ という鋭い境界を確立し、Guentner と Kaminker の結果を一般化する。
• $X = L_p$ の場合、境界 $\alpha^{\#}_p(G) \leq \frac{1}{p\beta^{*}(G)}$ は鋭く、特定の状況で等号が成立する。
• 反復ランプライト群 $\mathbb{Z}_{(k)} = \mathbb{Z}_{(k-1)} \wr \mathbb{Z}$ のヒルベルト圧縮指数は正確に $\alpha^{*}(\mathbb{Z}_{(k)}) = \frac{1}{2 - 2^{1-k}}$ に等しく、Tessera の問いに答えを提示する。
• 巡回ランプライト群 $C_2 \wr C_n$ は $L_1$ に一様有界な歪みで埋め込まれ、Lee, Naor, および Peres が提起した問いに答えを提示する。
• この結果は、エッジマーコフ型 2 が任意の $p > 1$ に対してエンフロ型 $p$ を含意しないことを示し、自然な予想に対する反例を提供する。
• $1 < p < 2$ の場合、$\alpha^{*}_p(\mathbb{Z} \wr \mathbb{Z})$ の境界を与える。具体的には、$\frac{p}{2p-1} \leq \alpha^{*}_p(\mathbb{Z} \wr \mathbb{Z}) \leq \min\left\{\frac{p+1}{2p}, \frac{4}{3p}\right\}$ が成り立つ。