[論文レビュー] Embeddings of fields in simple algebras over global fields

Sheng-Chi Shih, Tse-Chung Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2011

Advanced Topics in Algebra被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、グローバル体上の中心単純代数への有限体拡張の埋め込みに関する局所-大域原理を調査する。$F$-線形埋め込み $K \to A$ の存在に対する数値的条件を確立し、$[K:F] < \deg A$ のとき一般にハッセ原理が成立しないことを証明し、グローバル体上での容量およびブロイラー群不変量を用いた具体的な反例を構成する。

ABSTRACT

Let $F$ be a global field, $A$ a central simple algebra over $F$ and $K$ a finite (separable or not) field extension of $F$ with degree $[K:F]$ dividing the degree of $A$ over $F$. An embedding of $K$ in $A$ over $F$ exists implies an embedding exists locally everywhere. In this paper we give detailed discussions when the converse (i.e. the local-global principle in question) may hold.

研究の動機と目的

• 有限体拡張 $K$ がグローバル体 $F$ 上の中心単純代数 $A$ に $F$-線形埋め込みをもつための必要十分条件を特定すること。
• $F$ の各場所 $v$ における局所埋め込み問題を分析し、$K_v$ が $F_v$ 上で $A_v$ に埋め込まれる条件を特徴づけること。
• すべての場所 $v$ に対して $K_v \hookrightarrow A_v$ が成り立つという局所埋め込み条件が、グローバル埋め込み $K \hookrightarrow A$ を導くかどうかを調査すること。
• 中心単純代数の非最大部分体埋め込みにおいて、ハッセ原理が失敗する具体的な反例を、グローバル体上で構成すること。
• グローバル埋め込みの存在に関する数値的基準を、$\Delta \otimes_F K$ の容量およびブロイラー群における局所不変量を用いて提供すること。

提案手法

• [23] の半単純代数の埋め込みに関する結果を応用し、$K$ から $A$ への $F$-埋め込みのための数値的基準を導出する。
• $A \cong \mathrm{Mat}_n(\Delta)$ と分解し、$\Delta$ を除法代数とし、$n = \mathrm{c}(A)$ とすることで、問題を $\Delta \otimes_F K$ の容量に還元する。
• ハッセ＝ブロイラー＝ノイザーの定理を適用し、$\Delta$ の次数 $\delta_0$ をすべての局所指数 $d_v$ の最小公倍数として計算する。
• $\ell_w = [K_w:F_v]/\gcd([K_w:F_v], \deg \Delta)$ であるとき、$\sum_{w|v} \ell_w x_w = \mathrm{c}(A_v)$ を満たす非負整数の組 $(x_w)_{w|v}$ の集合を用いて、$F_v$-埋め込みの $A_v^\times$-共役類の集合を特徴づける。
• ガロアコhomオロジーおよび再導的群の同次空間の理論を用い、ハッセ原理の問題を $H^2(F, Z)$ における障害類の消滅に還元する。
• ヒルベルトの定理90 およびブロイラー群のハッセ原理を用い、障害類が局所的に自明であれば、条件 $\mathrm{ind}_{K_i}(A_i) \mid m_i$ の下でグローバルに自明であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体拡張 $K$ がグローバル体 $F$ 上の中心単純代数 $A$ に $F$-線形埋め込みをもつための条件は何か？
• RQ2 すべての場所 $v$ に対して $K_v \hookrightarrow A_v$ が成り立つという局所埋め込み条件が、グローバル埋め込み $K \hookrightarrow A$ を導くのはいつか？
• RQ3 $[K:F] < \deg A$ のとき、埋め込みに関するハッセ原理が失敗する可能性はあり、もしあるならどのような条件下でそうなるか？
• RQ4 $\Delta \otimes_F K$ の容量を用いた $F$-線形埋め込みの存在に関する明確な数値的基準は何か？
• RQ5 $F_v$ 上のブロイラー群における局所不変量は、グローバル埋め込み問題にどのように影響するか？

主な発見

• $K$ から $A$ への $F$-埋め込みが存在するための必要十分条件は、$[K:F]$ が $n \cdot \mathrm{c}(\Delta \otimes_F K)$ に割りつくことである。ここで $n = \mathrm{c}(A)$ であり、$\mathrm{c}(\Delta \otimes_F K)$ は $K$ 上の中心単純代数 $\Delta \otimes_F K$ の容量である。
• $A_v^\times$-共役類の集合である $F_v$-埋め込み $K_v \to A_v$ は、$\sum_{w|v} \ell_w x_w = \mathrm{c}(A_v)$ を満たす非負整数の組 $(x_w)_{w|v}$ の集合と自然に一対一対応する。ここで $\ell_w = [K_w:F_v]/\gcd([K_w:F_v], \deg \Delta)$ である。
• 一般に $[K:F] < \deg A$ のとき、埋め込みに関するハッセ原理は成立しない。具体的には、本稿では、次数8のガロア拡張 $K/F$ と次数24の中心単純代数 $A/F$ を構成し、すべての場所で局所埋め込みが存在するがグローバル埋め込みは存在しない反例を提示する。
• 埋め込み問題におけるハッセ原理が成り立つのは、$H^2(F, Z)$ における障害類が消えるときであり、これはすべての $i$ に対して $\mathrm{ind}_{K_i}(A_i) \mid m_i$ が成り立つことと同値である。ここで $A_i$ は $K_i$ 上の中心単純代数である。
• 除法代数 $\Delta$ の次数 $\delta_0$ は、$F$ のすべての場所 $v$ における局所指数 $d_v = \mathrm{ind}(A_v)$ の最小公倍数に等しく、ハッセ＝ブロイラー＝ノイザーの定理により与えられる。
• 再導的群の同次空間におけるハッセ原理を適用し、障害類が消える限り、局所的有理点が存在すればグローバル有理点が存在することを示す。これは、$K_i$ 上での埋め込み条件と同値である。