[論文レビュー] Embezzlement States are Universal for Non-Local Strategies

Mateus de Oliveira Oliveira|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2010

Decision-Making and Behavioral Economics参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、近似的な状態転送を可能にする量子状態である埋め抜き状態—embezzlement states—が、任意のラウンド数をもつ二プローバー非局所ゲームにおいて普遍的であることを証明している。任意のエンタングルド状態を用いた戦略が、量子ビット数の多項式的増加と無視できる誤差で埋め抜き状態のみを用いて近似可能であることを示すことにより、著者たちは、量子および古典的MIP*クラスがこれらの状態に制限されても変わらないこと、およびプローバーの測定回路を普遍的に標準化できることを確立した。

ABSTRACT

We prove that the family of embezzlement states defined by van Dam and Hayden [vanDamHayden2002] is universal for both quantum and classical entangled two-prover non-local games with an arbitrary number of rounds. More precisely, we show that for each $ε>0$ and each strategy for a k-round two-prover non-local game which uses a bipartite shared state on 2m qubits and makes the provers win with probability $ω$, there exists a strategy for the same game which uses an embezzlement state on $2m + 2m/ε$ qubits and makes the provers win with probability $ω-\sqrt{2ε}$. Since the value of a game can be defined as the limit of the value of a maximal 2m-qubit strategy as m goes to infinity, our result implies that the classes QMIP*_{c,s}[2,k] and MIP*_{c,s}[2,k] remain invariant if we allow the provers to share only embezzlement states, for any completeness value c in [0,1] and any soundness value s < c. Finally we notice that the circuits applied by each prover may be put into a very simple universal form.

研究の動機と目的

• 埋め抜き状態が二プローバー非局所ゲームにおいて任意のエンタングルド戦略を普遍的に近似できることを確立すること。
• 任意のkラウンド非局所ゲームの価値が、埋め抜き状態のみを用いる場合にも本質的に変わらないことの証明。
• 埋め抜き状態を用いる場合、プローバーの量子操作を普遍的な回路集合に置き換えられることの証明。
• 埋め抜き状態への制限を加えても、量子および古典的MIP*複雑度クラスが不変であることの証明。

提案手法

• 制御された誤差で近似的な状態転送を可能にする埋め抜き状態の族を構築する。
• 任意の$ 2m $量子ビット戦略を誤差最大$ \sqrt{2\varepsilon} $で近似するために、$ 2m + 2m/\varepsilon $の線形的量子ビットオーバーヘッドを用いる。
• ソロベイ＝キタエフ定理を適用し、CNOT、H、π/8、SWAPを含む普遍的なゲートセットを用いて任意のユニタリ操作を近似する。
• アーキテクチャにプログラム状態をアタッチレジスタに埋め込み、任意の戦略をシミュレートする普遍的な測定回路を符号化する。
• 隣接する量子ビット間の制御ゲートアーキテクチャを実装し、アタッチレジスタの状態が作業レジスタに適用するゲートを制御する。
• kラウンドにわたる誤差の加法的蓄積を用いて、総誤差を$ \varepsilon $で抑え、高精度なシミュレーションを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 埋め抜き状態は、任意のラウンド数をもつ二プローバー非局所ゲームにおいて、任意のエンタングルド戦略を普遍的に近似可能か？
• RQ2 埋め抜き状態のみを用いて任意のエンタングルド戦略をシミュレートするための最小限の量子ビットオーバーヘッドは何か？
• RQ3 埋め抜き状態戦略に制限された場合、プローバーの測定回路を普遍的に標準化可能か？
• RQ4 プローバーが埋め抜き状態のみを共有するように制限された場合、量子および古典的MIP*クラスは不変のままであるか？
• RQ5 戦略近似の誤差は、量子ビット数および所望の精度に従ってどのようにスケーリングされるか？

主な発見

• 任意の$ \varepsilon > 0 $に対して、$ 2m $量子ビットを用いる$ k $ラウンドの二プローバー非局所ゲーム戦略で、勝利確率$ \omega $のものを、$ 2m + 2m/\varepsilon $量子ビットの埋め抜き状態を用いて、勝利確率が$ \omega - \sqrt{2\varepsilon} $以上となるように近似可能である。
• 量子ビット数が無限大に近づく極限において、非局所ゲームの価値は、埋め抜き状態のみを用いる場合でも保存される。
• クラス$ QMIP^{*}_{c,s}[2,k] $および$ MIP^{*}_{c,s}[2,k] $は、埋め抜き状態への制限に対して不変であり、すべての$ c \in [0,1] $、$ s < c $に対して$ QMIP^{E^{*}}_{c,s}[2,k] = QMIP^{*}_{c,s}[2,k] $および$ MIP^{E^{*}}_{c,s}[2,k] = MIP^{*}_{c,s}[2,k] $が成り立つ。
• プローバーの測定操作は、アタッチレジスタサイズ$ M = k \cdot \text{poly}(2^d, \log(k/\varepsilon)) $を用いて、誤差$ \varepsilon $で任意の戦略をシミュレートする普遍的な回路集合$ \{ (\mathcal{X}_M, \mathcal{Y}_M) \} $に置き換え可能である。
• 普遍的な回路構成は、隣接する量子ビット間の制御ゲートを用い、制御は目的のゲートを符号化するアタッチ量子ビット状態に基づく。
• 誤差はkラウンドにわたって加法的に蓄積され、各ラウンドの誤差が$ \varepsilon/k $であれば、総誤差は$ \varepsilon $で抑えられる。