[論文レビュー] Emergence of Gaussianity in the thermodynamic limit of interacting fermions

Gabriel Matos, Andrew Hallam+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2021

Quantum many-body systems参考文献 48被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、XYZスピン鎖における相互作用をもつフェルミ粒子系が、熱力学的極限において、Wickの定理の破れや相互作用距離DFを用いて定量化されたガウス的性質を示すことに成功している。L ≫ ξのとき、相関関係は系のサイズに伴い指数関数的に自由フェルミ粒子系に近づく。この性質は、長距離相互作用、結合の不均一性、局所的無秩序といった弱い摂動に対しても頑健であることが示された。

ABSTRACT

Systems of interacting fermions can give rise to ground states whose correlations become effectively free-fermion-like in the thermodynamic limit, as shown by Baxter for a class of integrable models that include the one-dimensional XYZ spin-$\frac{1}{2}$ chain. Here, we quantitatively analyse this behaviour by establishing the relation between system size and correlation length required for the fermionic Gaussianity to emerge. Importantly, we demonstrate that this behaviour can be observed through the applicability of Wick's theorem and thus it is experimentally accessible. To establish the relevance of our results to possible experimental realisations of XYZ-related models, we demonstrate that the emergent Gaussianity is insensitive to weak variations in the range of interactions, coupling inhomogeneities and local random potentials.

研究の動機と目的

• 熱力学的極限において、相互作用をもつフェルミオン系がいつガウス的・自由フェルミオン的相関を示すかを理解すること。
• Wickの定理の破れや相互作用距離DFといった実験的に測定可能な診断指標を用いて、ガウス的性質の出現を定量化すること。
• 長距離相互作用、結合の不均一性、局所的ランダムポテンシャルといった現実的な摂動に対して、ガウス的性質の出現がどの程度頑健であるかを確立すること。
• XYZモデルにおいてガウス的性質の出現が開始する臨界的な系のサイズと相関長スケールの閾値（L ≫ ξ）を特定すること。

提案手法

• 縮約密度行列 ρA がガウス的フェルミオン状態にどれほど近いかを測る診断指標として、相互作用距離 DF(ρA) を用いる。
• 四点相関関係におけるWickの定理の破れを測る指標 W(ρ) を定義し、W(ρ) ≤ 6DF(ρ) によって DF(ρ) により上限が与えられることを示す。
• L = 200 以上の系に対して、適応的結合次元（χ = 128–512）を用いた密度行列密度行列群（DMRG）法を用いて基底状態とエンタングルメントスペクトルを計算する。
• Baxterの解を用いて、楕円関数によるXYZモデルのパrametrization（Γr, ∆r, k, λ）を用い、相関長スケール ξ を解析的に計算する。
• エンタングルメントスペクトルからエンタングルメントハミルトニアン Hint_E を構築し、これを利用して二点および四点相関関係を計算し、W(ρ) を評価する。
• 長距離相互作用、結合の不均一性、局所的ランダムポテンシャルといった摂動を適用し、ガウス的性質の頑健性をテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 XYZモデルの相関構造が、どの系のサイズで自由フェルミオン系に類似し始めるか？
• RQ2 XYZモデルにおいて、Wickの定理の破れ（W）は、系のサイズと相関長スケールにどのように依存するか？
• RQ3 長距離相互作用や局所的無秩序といった現実的な実験的不具合に対して、出現するガウス的性質はどの程度頑健か？
• RQ4 相互作用距離DFは、相互作用をもつ多体系におけるフェルミオン的ガウス的性質を信頼できる実験的測定可能指標として用いることができるか？
• RQ5 XYZモデルにおいて、ガウス的性質の出現の開始に必要な系のサイズLと相関長スケールξとの間の解析的関係は何か？

主な発見

• 系のサイズLが相関長スケールξより著しく大きいとき（L ≫ ξ）、相互作用距離DF(ρA)は指数関数的に減少し、XYZモデルにおける相関関係が熱力学的極限で自由フェルミオン系に近づくことを示している。
• Wickの定理の破れを表すW(ρ)は、W(ρ) ≤ 6DF(ρ) によりDF(ρ)によって上限が与えられており、DFがガウス的でない相互作用によるずれの物理的に意味のある上界を提供していることが確認された。
• XYZモデルのギャップのある相においてはDFが強く抑制され、ガウス的性質の出現が示唆されるが、臨界点付近ではDFが大きく保たれ、強い相関と非ガウス的性質を示している。
• 出現するガウス的性質は頑健である：長距離相互作用、結合の不均一性、局所的ランダムポテンシャルといった弱い摂動に対しても、DFとWは低く保たれ、自由フェルミオン的相関が維持されている。
• ガウス的性質の出現は、系のサイズLが相関長スケールξを超えたときのみ発現し、DFとWの両方において指数関数的収束が観察された。
• エンタングルメントスペクトルから導かれたエンタングルメントハミルトニアンにより、四点相関関係を正確に計算でき、エンタングルメントエネルギー ϵi, ϵj, ϵij を用いてW(ρ)を直接評価することが可能になった。